Методички савјет професорима: „Вадите квадратни коријен из негативног броја.“

Повод за писање чланка

На Фејсбуку, у једној групи професора математике, учествовао сам у расправи на тему вађења квадратног коријена из негативног броја и поставио сљедећи проблем са сајта https://brilliant.org:

Screenshot_2018-07-11_21-02-10

Рјешење је бар мени било очигледно док нисам схватио да већина (?!) чланова групе сматра да је немогуће вадити квадратни коријен из негативног броја и да је тако нешто потпуно погрешно, узалудно и бесмислено. Посебно ме изненадила агресивност и искључивост чланова током поменутих расправа као и омаловажавање нас малобројних који смо заступали супротан став. Вјерујем да се свако од нас, вадећи квадратни коријен из негативног броја (нпр. дефинишући i=\sqrt{-1}), осјећао као ученик Питагорејске школе (Хипасус из Метапонта) међу питагорејцима, када је доказао постојање ирационалних бројева, попут броја \sqrt{2} (због тога су га бацили у море).

Након тога сам претраживао интернет да видим како на водећим свјетским универзитетима, у средњим школама, на разним интернет страницама рјешавају квадратну једначину која нема реалних рјешења. Да ли ваде квадратни коријен из негативног броја? Одговор је наравно потврдан.

Одлучио сам да напишем овај чланак и овдје изложим свој поглед на наведену тему, посебно зато што припадам „мањини“, а сматрам да ће некима од колега користити ово о чему пишем. Примијетио сам да већина људи по инерцији без неког посебног преиспитивање подлеже ауторитетима и не прихваћа другачије виђење ствари. Али као што један колега рече, ауторитет није критеријум истине у математици и дефиниције су одувијек биле ствар договора више математичара. Овдје ћу изложити и образложити договор који данас важи међу математичарима по питању вађења квадратног коријена из негативног броја.

Зато колеге не будите превише искључиви јер понекад постоји више исправних и добро дефинисаних приступа, вадите квадратни коријен из негативног броја, покушајте да на исте ствари гледате из више различитих углова.

Квадратни коријен из ненегативног броја

Квадратни коријен из ненегативног реалног броја x се дефинише као ненегативан број  a који помножен сам собом даје број x тј. a^2=x и пишемо \sqrt{x}=a.

Са правом можемо да се питамо, зашто је дефиниција таква да је нпр. \sqrt{4}=2 а не \sqrt{4}=-2 када је 2^2=4 и (-2)^2=4?

Као што видимо на сљедећем графику, потпуно је свеједно да ли ћемо квадратни коријен дефинисати као ненегативан или непозитиван број.

График функције y=\sqrt{x} је представљен црном бојом а график функције  y=-\sqrt{x} је представљен сивом бојом.

У овом случају разлог за дефинисање квадратног коријена као ненегативног броја је историјски, појам квадратног коријена је старији од појма негативног броја. Дефиниција нам такође „помаже“ да направимо разлику између позитивног и негативног квадратног коријена.

Такође се можемо запитати, како онда долазимо до оба рјешења квадратне једначине x^2=4 ако смо квадратни коријен дефинисали као једнозначну а не као вишезначну функцију (y=\pm\sqrt{x}=\{\sqrt{x},-\sqrt{x}\})?

На основу дефиниције имамо да важи формула \sqrt{a^2}=\mid{a}\mid при чему \mid a\mid означава апсолутну вриједност реалног броја a. Корјенујући обе стране почетне једнакости добијамо једнакост \mid{x}\mid=2, из које слиједи да имамо два рјешења x_1=2 и x_2=-2.

Квадратни коријен из негативног броја

Квадратни коријен из негативног реалног броја -a се дефинише као квадратни коријен из ненегативног броја  a помножен са бројем i=\sqrt{-1} (i^2=-1) тј. \sqrt{-a}=\sqrt{a}\cdot i.

Са правом можемо да се питамо, зашто је дефиниција таква да је нпр. \sqrt{-4}=2i а не \sqrt{-4}=-2i када је (2i)^2=4 и (-2i)^2=4?

Као што je био случај са квадратним коријеном из ненегативног броја, потпуно је свеједно да ли ћемо квадратни коријен дефинисати као позитиван број помножен са i или негативан број помножен са i. Видјећемо касније у тексту зашто је изабрана баш ова прва варијанта и како ћемо дефинисати квадратни коријен из комплексног броја.

Овдје треба напоменути да формула \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} која је дефинисана на скупу ненегативних реалних бројева не важи у скупу комплексних бројева ако су a и b негативни бројеви (a,b\in \bf{R^-}\subset \bf{C}) .

Добар примјер за то је сљедећи низ (не)једнакости:

6=\sqrt{36}=\sqrt{(-4)\cdot(-9)}\neq\sqrt{-4}\sqrt{-9}=2i\cdot 3i=6i^2=-6.

Такође се можемо запитати, како онда долазимо до оба рјешења квадратне једначине x^2=-4 ако смо квадратни коријен дефинисали као једнозначну а не као вишезначну функцију (у том случају квадратни коријен као вишезначна функција би враћао пар бројева; ова дефиниција није у складу са дефиницијом квадратног коријена из ненегативног броја али ради добро све док не дођемо до неких конкретних израчунања јер тада имамо рачунске операције између броја и скупа или између два скупа)?

На основу дефиниције имамо да за a^2<0 важи формула \sqrt{a^2}=\mid a\mid\cdot i при чему \mid a\mid означава модул чисто имагинарног комплексног броја a. Корјенујући обе стране почетне једнакости добијамо једнакост \mid{x}\mid\cdot i=2\cdot i, из које слиједи да имамо два рјешења x_1=2i и x_2=-2i.

Квадратни коријен из комплексног броја

Ако је z=re^{i\varphi} поларнo-експоненцијални облик комплексног броја, при чему је r\geq 0 и 0\leq \varphi\leq 2\pi, онда је z^{\frac{1}{2}}=r^\frac{1}{2}e^{i\frac{\varphi+2k\pi}{2}}, 0\leq k\leq 1 квадратни коријен из комплексног броја.

Квадратни коријен из комплексног броја има двије гране аргумента (видјети слику доле, Риманове површи). По договору, за функцију квадратни коријен из комплексног броја узимамо главну вриједност аргумента z^{\frac{1}{2}}=r^\frac{1}{2}e^{i\frac{\varphi}{2}}, -\pi <\varphi\leq \pi.

riemann_surface.png

Није тешко утврдити да из овако дефинисаног квадратног коријена \sqrt{z}=\sqrt{r}e^{i\frac{\varphi}{2}}, -\pi <\varphi\leq \pi слиједи све што је до сада речено. Јасно је да је избор дефиниције за квадратни коријен из негативног броја на неки начин условљен дефиницијом квадратног коријена из ненегативног броја.

Квадратни коријен је функција дефинисана на скупу \bf{R^+} која може а и не мора да се прошири на скуп \bf{C}. Постоји више начина да се уопшти појам корјене функције са скупа реалних бројева на скуп комплексних бројева, али то је немогуће урадити тако да се сачувају све особине које су важиле у скупу реалних бројева. Неки  људи не брину толико о непрекидности коријене функције и дефинишу да је i=\sqrt{-1}. Неки други људи су резервисали симбол \sqrt{\phantom{x}} само за ненегативне реалне бројеве, о квадратним коријенима у скупу комплексних бројева само говоре и дефинишу да је i^2=-1. Избор је ствар личног укуса. Различити људи праве различите изборе. Који год приступ изабрали, битно је да држимо до конзистентности и не пишемо формулу \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} тамо гдје она не важи или \sqrt{z} тамо гдје квадратни коријен није дефинисан. Оно што увијек важи без обзира на договор који је усвојен јесте једнакост i^2=-1.

Комплексни бројеви у настави математике

Сматрам да је начин на који се средњошколцима данас предаје градиво на тему „Комплексни бројеви“ тотално погрешан.

Имагинарна јединица се дефинише као рјешење квадратне једначине x^2=-1, прије него што су ученици научили шта су то и како се рјешавају квадратне једначине. Увођење скупова бројева преко разматрања могућности рјешавања одговарајућих једначина, код ученика ствара утисак да тај поступак може да траје у недоглед; да врло лако може рјешавањем неке једначине, која нема рјешење у скупу комплексних бројева, нпр. једначине 0\cdot x=a, a\neq 0, алгебарску структуру комплексних бројева проширити до нове алгебарске структуре у којој ће та једначина имати рјешења. Међутим, то прави велику штету ученику јер му је ускраћен најбољи начин да нешто научи – да то сам открије. Њемачки физичар Lichtenberg, лијепо је рекао: „То што сте принуђени да сами откријете оставља у вашем уму пут који се може поново користити ако се за то укаже потреба.“ Злочин је не испричати ученицима причу о настанку комплексних бројева.

Формално увођење комплексних бројева као уређених парова, те идентификовање комплексног броја (x,0) са реалним бројем x, сматрам непримјереним узрасту ученика јер ученик треба да зна да је бијективна коресподенција x \rightarrow (x,0), x\in\bf{R} изоморфизам  на поље комплексних бројева облика (x,0), да би знао зашто је дошло до идентификације комплексног броја са реалним бројем и шта то заправо значи.

Сматрам да је методички исправније:

  1. Да се ученицима исприча прича о настанку комплексних бројева, да их науче тако што ће сами да их открију; да се дефинише скуп комплексних бројева \bf{C}=\{a+b\cdot\sqrt{-1}\mid a,b\in\bf{R} \wedge\sqrt{-1}^2=-1\},  основне операције и једнакост у скупу \bf{C};
  2. да се ученицима напомене да је Ојлер први увео ознаку за имагинарну јединицу која се и данас користи i=\sqrt{-1}, i^2=-1 и да им се објасни како се вади коријен из негативног броја;
  3. да се уведе појам комплексне равни, гдје се сваки комплексан број a+b\cdot i може представити као тачка са координатама (a,b); да ученици науче да одреде реалан и имагинаран дио комплексног броја, представе комплексан број и њему конјуговано комплексан број у комплексној равни, као и да рачунају модул комплексног броја;
  4. да се ученицима представи скуп комплексних бројева као скуп уређених парова и да операције које су дефинисане за алгебарски облик комплексног броја дефинишу над скупом уређених парова.

Др Ђуро Курепа у уџбенику Виша алгебра дефинише n-ти коријен из комплексног а самим тим и квадратни коријен из негативног броја управо онако како смо и ми то урадили. Др Миодраг Матељевић у уџбенику Комплексне функције 1 & 2 напомиње да се у литератури (специјално, у средњој школи) имагинарна јединица означава и као \sqrt{-1}, мада је коријен у реалној анализи дефинисан само за ненегативне бројеве. Вађење квадратног коријена из негативног броја је у складу са методичким принципом научности и уобичајено је у средњим школама, о чему свједочи како наша, тако и свјетска литература.

Advertisements

Формуле за рjешавање алгебарских jедначина помоћу радикала

Рад jе написан на наведену тему у склопу процеса континуираног стручног усавршавања наставника

Резиме. У овом раду ћемо изложити историjат рjешавања алгебарских jедначина и извести формуле за рjешавање алгебарских jедначина другог, трећег и четвртог степена. Такође ћемо показати како jе Бомбели рjешаваjући кубну jедначину дошао до открића комплексних броjева.

Задаци и рјешења са регионалних такмичења из математике ученика средњих школа Републике Српске

Регионална такмичења из математике у Републици Српској се одржавају у континуитету још од 1994. године. Ове године је одржано 25. регионално такмичење из математике ученика средњих школа Републике Српске.

Овдје ћу поставити задатке са досадашњих регионалних такмичења из математике (2002-2006; 2008-2010; 2012; 2014; 2017-2018), које сам успио да прикупим захваљујући колегама са добојске регије и инспекторима – просвјетним савјетницима за математику Жељку Поткоњаку, Момиру Васићу и Горану Јанковићу. Да бих успио да прикупим задатке и рјешења са свих досадашњих регионалних такмичења из математике и да их овдје поставим како би нам били свима на корист, уважене колеге и драги такмичари, потребна ми је ваша помоћ.

Молим све читаоце овог текста који поседују задатке и рјешења са неког од  регионалних такмичења, које нисам успио досад да прикупим, да ми их пошаљу ако су у електронском облику а ако нису да их скенирају те затим пошаљу. Унапријед хвала на уложеном времену и труду.

  1. регионално такмичење из математике (1994)
  2. регионално такмичење из математике (1995)
  3. регионално такмичење из математике (1996)
  4. регионално такмичење из математике (1997)
  5. регионално такмичење из математике (1998)
  6. регионално такмичење из математике (1999)
  7. регионално такмичење из математике (2000)
  8. регионално такмичење из математике (2001)
  9. регионално такмичење из математике (2002)
  10. регионално такмичење из математике (2003)
  11. регионално такмичење из математике (2004)
  12. регионално такмичење из математике (2005)
  13. регионално такмичење из математике (2006)
  14. регионално такмичење из математике (2007)
  15. регионално такмичење из математике (2008)
  16. регионално такмичење из математике (2009)
  17. регионално такмичење из математике (2010)
  18. регионално такмичење из математике (2011, послао Марко Рајковић)
  19. регионално такмичење из математике (2012)
  20. регионално такмичење из математике (2013, послао Бојан Пажин)
  21. регионално такмичење из математике (2014)
  22. регионално такмичење из математике (2015, послао Бојан Пажин)
  23. регионално такмичење из математике (2016, послао Бојан Пажин)
  24. регионално такмичење из математике (2017)
  25. регионално такмичење из математике (2018)

ДОДАТАК

Регионално такмичење из математике 2018.

Ученици првих разреда Андреј Душанић, Дејан Шукурма и ученици другог разреда Жељана РакићДенис Фолварек су постигли најбољи успјех на школском такмичењу из математике, одржаном 12.02.2018.

 

Ученици Андреј Душанић, Дејан Шукурма и Жељана Ракић, представљали су нашу школу на регионалном такмичењу из математике које је одржано 03.03.2018. у Саобраћајној и електро школи Добој. Ученица Жељана Ракић је похваљена за освојено четврто мјесто.

zeljana.jpg

За вријеме трајања такмичења, професори су присуствовали стручном семинару на тему „Е-учионица математике“. Циљ семинара је био развијање и унапређивање компетенција наставника математике за организацију и реализацију програма рада, у функцији ефикасности и осавремењивања рада у настави математике.

Учеснике семинара је представио Горан Јанковић, инспектор – просвјетни савјетник за математику, те упознао присутне са програмом семинара.

predavaci

Професорица Тијана Пауновић из Економске школе Добој, одржала је предавање на тему „Припремање и реализација наставе математике коришћењем ГеоГебре“. На крају предавања, професорица Тијана Пауновић упознала је присутне са могућношћу повезивања свих наставника преко gmail налога у Google учионицу у оквиру које могу комуницирати, објављивати и размењивати своје радове. Наставници су доставили своје налоге професорици Тијани Пауновић која ће их позвати у својству администратора у Google учионицу.

tijana

Наставник Алексансандар Кршић из ОШ „Свети Сава“ Добој, одржао је предавање на тему „Рад са електронском таблом“. Такође је присутним професорима дао пар корисних савјета како да дођу до паметних табли које ће користити у својим учионицама.

aleksandar

Др Драгана Недић са Саобраћајног факултета у Добоју, презентовала је тему „Функције, интеграли и ГеоГебра“.

dragana

Након тога, координатор Горан Јанковић је извршио евалуацију семинара и подијелио сертификате присутним професорима. Такође је упознао присутне професоре са идејом да се оснује Друштво математичара Добојске регије, те затражио да попуњавањем анонимне анкете искажу своје мишљење о изнесеној идеји.

goran

Can we build AI without losing control over it?

Sam Harris: Can we build AI without losing control over it?

Scared of superintelligent AI? You should be, says neuroscientist and philosopher Sam Harris — and not just in some theoretical way. We’re going to build superhuman machines, says Harris, but we haven’t yet grappled with the problems associated with creating something that may treat us the way we treat ants.

Сем Харис: Можемо ли направити вештачку интелигенцију, а да не изгубимо контролу над њом?

Плашите се суперинтелигентне вештачке интелигенције? И треба, и то не само у тероји, каже неуронаучник и филозоф Сем Харис. Направићемо надљудске машине, каже Харис, али још увек се нисмо изборили са проблемом да ћемо створити нешто што ће се према нама односити као што се ми односимо према мравима.

Coursera Mentor for Machine Learning

https://www.coursera.org/account/accomplishments/certificate/8B6SRMRHPV2Z

https://www.coursera.org/learn/machine-learning

 

[Edited 10.02.2018. – Added Coursera Community Accomplishment: Coursera Mentor – 1 Month]

1_Month

[Edited 01.03.2018. – Added Coursera Course Certificate: Coursera Mentor Community and Training Course (with Honors)]

honors

Heroes of Deep Learning

1. Andrew Ng interviews Geoffrey Hinton

 

2. Andrew Ng interviews Ian Goodfellow

 

3. Andrew Ng interviews Yoshua Bengio

 

4. Andrew Ng interviews Pieter Abbeel

 

5. Andrew Ng interviews Head of Baidu Research, Yuanqing Lin

 

6. Andrew Ng interviews Andrej Karpathy

 

7. Andrew Ng interviews Director of AI Research at Apple, Ruslan Salakhutdinov