Троугао, шаховска табла и Фибоначијев низ

Црвени и зелени троугао су замијенили мјеста, појавио се 1 бијели квадратић вишка у великом троуглу?

Шаховска табла 8×8 је исјечена као на првој слици, има 64 квадратна поља. Исјечени дијелови су послагани као на другој слици, у таблу 13×5, која има 65 квадратних поља? Дијелови су такође послагани као на трећој слици у таблу 13×11 тако да заузимају 63 квадратна поља?

64=65? 64=63?

Катете црвеног троугла су 8 и 3, зеленог троугла 5 и 2 а великог троугла 13 и 5. Ти исти бројеви представљају димензије одговарајућих табли и дијелова исјечене шаховске табле. 1 квадратић је вишка или недостаје.

Посматрајмо бројеве 1, 2, 3, 5, 8 и 13. Сваки од њих, почевши од броја 2, је збир претходна два. То су Фибоначијеви бројеви, чланови Фибоначијевог низа. Дефинишемо га на сљедећи начин: {F_0=1,\ F_1=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\ n\geq 2}.

Италијански математичар Фибоначи (Leonardo Fibonacci) је дошао до њих преко мисаоног експеримента са зечевима. Претпоставио је да се зечеви размножавају и да сваки пар зечева доноси на свијет нови пар зечева и то једног мушког и једног женског, осим током првог мјесеца, јер тек након првог мјесеца постају зрели за оплодњу.

Поставио је сљедеће питање: “Колико парова зечева ће репродуковати један пар за годину дана ако се претпостави да сваког месеца један пар роди нови пар који за два месеца постане репродуктиван?” Видимо да ће за 5 мјесеци један пар репродуковати 5 парова зечева.

Како да објаснимо горе наведене геометријске парадоксе, слагалице у којима се 1 квадратић појављује и нестаје? Помозимо се сљедећим тврђењем: „Квадрат сваког члана Фибоначијевог низа, почевши од броја 2, разликује се од производа њему сусједних чланова за 1.“ Читаоцима остављам да тврђење формулишу у виду формуле и затим је докажу (рецимо, математичком индукцијом). Покушајте да пронађете још оваквих слагалица а оне са горњих слика да објасните.

Advertisements

5 thoughts on “Троугао, шаховска табла и Фибоначијев низ

  1. Kod trougla, kod koga se pojavljuje 1 kvadrat ‘viska’, hipotenuza nije jedna prava linija, nego je izlomljena i sastoji se iz dvije (hipotenuze crvenog i zelenog trougla), a ugao izmedju njih je toliko mali de se ne primjecuje golim okom. Medjutim, taj ugao je sasvim dovoljan da uveca ukupnu povrsinu trougla za jednu mjernu jedinicu u ovom slucaju 1 kvadrat.
    Pretpostavljam da je i u ostalim slucajevima rjesenje problema slicno ili isto.

  2. Добро си примјетио, у питању је оптичка илузија. Смислио ју је мађионичар Paul Curry. Остаје још да се математички докаже да хипотенуза није права линија.

  3. To za dokazivanje cu prepustiti tebi 😀 (ja sam se samo poigrao u AutoCad-u).
    Ali pretpostavljam da moze da se dokaze racunanjem uglova pod kojim leze pojedinacne hipotenuze, dokazivanjem da su oni razliciti dokazali smo i da je ‘velika’ hipotenuza izlomljena linija.

  4. Одлично, свак част за AutoCad! Може преко тригонометрије и на још пар начина, препустићемо то неком другом. Прекуцао сам пар звјездица у претходни коментар 😀 , ипак и дјеца читају.

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s