Теорема невјесте

Код правоуглих троуглова је квадрат на страни спрам правог угла (на хипотенузи) једнак квадратима на странама које образују прав угао (на катетама).

 

Ако је код троугла квадрат на једној страни једнак квадратима на осталим двјема странама, онда је угао који образују ове двије стране прав.

 

47. и 48. став прве књиге Еуклидових (330-275. пне) Елемената

 

Питагорина теорема је ученицима најпознатија теорема: „Квадрат над хипотенузом правоуглог троугла једнак је збиру квадрата над његовим катетама.“ 

Иако се приписује Питагори, била је позната Египћанима, Вавилонцима, Кинезима и Индијцима. Ако се нпр. приликом градње храма или пирамида требао конструисати прави угао, онда је то рађено помоћу „египатског троугла“ – троугла чије су странице 3, 4 и 5. Такође, стари народи су знали конструисати правоугли троугао са страницама дужина 6, 8 и 10; 9, 12 и 15; 12, 16 и 20, односно 15, 36 и 39. На овај начин је уведена веза између фигуре и броја, тј. између геометрије и алгебре.

Сматра се да први доказ Питагорине теореме потиче од Питагоре. Према легенди, он је у знак захвалности што је доказао теорему, боговима жртвовао стотину волова. Иначе,  до данас је познато око 400 различитих доказа Питагорине теореме. Навешћемо овдје неке од њих.

Питагорин доказ

На сликама видимо два квадрата истих површина, оба имају странице једнаке збиру дужина катета жутих правоуглих троуглова {a+b}. Жути троуглови у оба квадрата заузимају исте површине {2ab}. Посматрајмо преостале површине, без уочених троуглова. У првом квадрату нам остаје – квадрат над хипотенузом површине {c^2}; у другом – квадрати над катетама површине {a^2+b^2}. Преостале површине у оба квадрата су исте тако да добијамо тврђење Питагорине теореме {c^2=a^2+b^2}.

До Питагорине теореме можемо доћи помоћу исте слике користећи формулу за квадрат бинома. Површина првог квадрата износи {(a+b)^2=a^2+4\cdot\frac{ab}{2}+b^2} а другог {(a+b)^2=c^2+4\cdot\frac{ab}{2}}, што се види са слике. Из претходне две једнакости слиједи тврђење Питагорине теореме {c^2=a^2+b^2}.

Бхаскарови докази

Изразимо површину квадрата странице c преко жутог квадрата и четири љубичаста правоугла троугла: {c^2=(b-a)^2+4\cdot\frac{ab}{2}}. Сређивањем десне стране једнакости добијамо {c^2=a^2+b^2}. Овим је први доказ завршен, добили смо тврђење Питагорине теореме.

Бхаскара (Bhāskara II) је извео и други доказ примјеном особина сличности троуглова.

Троуглови {\triangle ABC} и {\triangle CBE} су слични, јер су им одговарајући углови једнаки: {\angle ACB=\angle BEC=90^{\circ}}; {\angle ABC=\angle EBC}; {\angle BAC=\angle BCE} (оштри углови са нормалним крацима). Из њихове сличности слиједи једнакост {\frac{s}{a}=\frac{a}{c}} тј. {sc=a^2}.

Аналогно показујемо сличност троуглова {\triangle ABC} и {\triangle ACE}. Из њихове сличности слиједи једнакост {\frac{r}{b}=\frac{b}{c}} тј. {rc=b^2}.

Из претходних једнакости слиједи {c^2=c\cdot c=(r+s)\cdot c=rc+sc=b^2+a^2} тј. тврђење Питагорине теореме.

Еуклидов доказ

Еуклид прву књигу елемената завршава доказом Питагорине теореме (видјети „Литература и извори“ под 34).

Арапски математичари су Питагорину теорему називали „теорема невјесте“. Цртеж са доње слике личи на пчелу или крилатог мрава, а на старогрчком језику „млада пчела“ („крилати мрав“) означава „нимфу“, што је код древних Грка био назив за младу жену, невјесту. У средњем вијеку су Питагорину теорему називали још и „теоремом магараца“, јер су за ученике који су је знали напамет а нису умјели да је докажу говорили да су „магарци“.

{FC\| AE\| BD}. Разликоваћемо случајеве а) и б) редом као на горњој слици. Скицираћу доказ, детаље остављам читаоцима да докажу.

Троуглови {\triangle AEC} и {\triangle ABI} су подударни по ставу СУС (Страница – Угао – Страница). Троугао {\triangle AEC} и правоугаоник {\Box AEFG} имају заједничку основу {AE} и висину {AG}. Њихове површине износе {P_{\triangle AEC}=\frac{1}{2} AE\cdot AG} и {P_{\Box AEFG}=AE\cdot AG}. Одатле слиједи {P_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}\cdot P_{\Box AEFG}} тј. површина правоугаоника {\Box AEFG} је два пута већа од површине троугла {\triangle AEC}. Аналогно показујемо да је површина квадрата {\Box AIHC} два пута већа од површине троугла {\triangle AIB} тј. троугла {\triangle AEC}. Одатле слиједи да је површина правоугаоника {\Box AEFG} једнака површини квадрата {\Box AIHC}.

На потпуно исти начин као под а) проводимо доказ и за случај б). Добијамо да је површина правоугаоника {\Box BDFC} једнака површини квадрата {\Box BJKC}. Како је квадрат {\Box ABDE} једнак збиру правоугаоника {\Box AEFG} и {\Box BDFC} тј. збиру квадрата {\Box AIHC} и {\Box BJKC}, слиједи тврђење Питагорине теореме.

Advertisements

5 thoughts on “Теорема невјесте

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s