Рјешaвање алгебарских једначина помоћу радикала

Поступци рјешавања линеарних и квадратних једначина општег облика били су познати Египћанима и Вавилонцима. Након  њих су се рјешавањима алгебарских једначина бавили александријски математичари Херон (10-70. пне) и Диофант (210-290), чија књига „Аритметика“ је била на необично високом нивоу. Знања о рјешавањима алгебарских једначина су се затим проширила на арапски свијет под називом „наука о намјештању једнакости“ (ал-џабра; арапски) одакле и савремени назив алгебре. Најпознатији арапски математичари тога времена били су Ал Хорезми (780-840), Омер Хајам (1048-1131) и Египћанин Абу Камил (850-930). Једначине вишег степена се спомињу, али су знали ријешити само неке специјалне случајеве. Омар Хајам је развио методе за геометријско рјешавање кубних једначина, док је италијански математичар Фибоначи (Leonardo Fibonacci, 1170-1250) први приближно ријешио кубну једначину специјалног облика. Средњевјековни Кинези су такође знали приближно да ријеше кубну једначину. Данас постоје формуле за општа рјешења алгебарских једначина једначина трећег и четвртог степена.

Негативни коефицијенти су досљедно избјегавани, што је довело до тога да су умјесто једне једначине општег облика одређеног степена, рјешавали више типова те исте једначине. Италијански математичар Феро (Scipione del Ferro, 1465-1526) је око 1515. први ријешио један од типова кубне једначине, али је поступак држао у тајности. На самрти (1526) га је пренијео своме ученику Антонију Фиору.  Италијански математичар Тартаља (Niccolo Tartaglia, 1499-1557) је око 1530. открио како ријешити  кубну једначину и то није крио. Како је Фиоро био увјерен да само он зна ријешити кубну једначину, изазвао је Тартаљу на математички двобој (1535). Наравно, задао му је управо кубне једначине тога типа, које је он без проблема ријешио. Овај, са друге стране, није знао ни да ријеши управо те кубне једначине. За Тартаљину побједу сазнао је италијански математичар Кардано (Girolamo Cardano, 1501-1576) и успио је из њега извући методу рјешавања кубне једначине, у стиховима, под условом да не смије прије њега да је објави. Након тога је, заједно са својим студентом Фераријем (Lodovico Ferrari, 1522-1565), развио методу рјешавања која је примјењива на све типове кубних једначина. Након тога је ферари самостално развио методу за рјешавање једначине четвртог степена. Упркос обећању, Кардано објављује књигу „Велика вјештина“ (Ars Magna; 1545), у којој даје детаљан опис методе за рјешавање једначина трећег и четвртог степена, наводећи Тартаљу као аутора методе коју је од њега добио. Уз то, у њој се налази прва појава комплексних бројева. То је разбјеснило Тартаља, који још није био објавио своју методу. Изазвао је Кардана на математички двобој, на који је овај послао Ферарија, који га је глатко побједио. Данас су формуле за рјешавање кубне једначине познате као Карданове или Кардано-Тартаљине формуле.

Након што су Тартаља и ферари пронашли правила за рјешавање једначина трећег и четвртог степена у зависности од њиховиг коефицијената, те формуле су се неуспјешно примјењивале на рјешавање једначина петог и виших степена. Италијанско-француски математичар Лагранж (Joseph-Louis, comte de Lagrange, 1736-1813) је анализирао све њему познате успјешне методе за рјешавање једначина другог, трећег и четвртог степена (1770) не би ли утврдио њихове законитости и могућност генерализације. Иако су Лагранжове анализе проблема пермутација корјенова биле обећавајуће, он је постајао све сумњичавији, јер су године пролазиле, а није долазио до конкретних резултата. Први чврсти доказ да општа једначина петог степена није рјешива помоћу радикала (операција сабирања, одузимања, множења, дјељења и степеновања рационалним бројевима, које су извршене коначан број пута са коефицијентима једначине) дао је 1824. године норвешки математичар Абел (Niels Abel, 1802-1829). Он је примјером показао да су неке једначине петог степена рјешиве помоћу радикала и то релативно лако. Абел је, такође, поставио питање: „Које једначине степена већег од четири су рјешиве помоћу радикала?“ Умро је 1829. у 26. години, а није ријешио овај проблем. Нешто касније у први план долази француски математичар Галоа (Еvariste Galois, 1811-1832), поставивши 1829. године на Академији наука нову теорију једначина. Нажалост, тај рукопис је изгубљен. Друга верзија рада је такође изгубљена, тако да је нису пронашли ни међу папирима секретара Академије Фуријеа, који је умро 1830. Након двије године, као двадесетогодишњак, Галоа је страдао у двобоју. Коначно, 1846. године, његов рад је пронађен и објављен у математичком журналу научника Лиувила. Галоа је доказао да се једначине петог и вишег степена у општем случају не могу ријешити помоћу радикала. Галоова теорија се, на крају, развила у теорију једначина као дио теорије група.

Advertisements

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s