Формуле за рјешења линеарних и квадратних једначина

Захваљујући француском математичару Декарту (Rene Descartes,1596-1650) и његовом методу координата, који је изложио у књизи „Геометрија“ (La geometrie; 1637), општи облик линеарне једначине са једном непознатом гласи: ax+b=0, гдје је x непозната, a,b\in R и a\not =0. Дотад су једначине записиване само са позитивним коефицијентима; дијелови једначина са негативним коефицијентима су „преношени“ на другу страну једнакости. Њено рјешење је x=-\frac{b}{a}.

Општи облик квадратне једначине са једном непознатом гласи: ax^2+bx+c=0, гдје је x непозната, a,b,c\in R и a\not =0. Тек када је Кардано у своме дјелу „Велика вјештина“, увео у употребу негативне и комплексне бројеве, било је могуће ријешити општу квадратну једначину.

Помножимо дату квадратну једначину са 4a (4a\not =0), добијамо њој еквивалентну једначину 4a^2x^2+4abx+4ac=0. Додајмо објема странама једнакости израз b^2-4ac. Добијамо једначину 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac, коју можемо написати у облику (2ax+b)^2=b^2-4ac. Посљедња једнакост, еквивалентна је са 2ax+b=\sqrt{b^2-4ac} или 2ax+b=-\sqrt{b^2-4ac}. Из те двије једначине (уз услов 2a\not =0) добијамо да вриједи x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} или x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. На тај начин долазимо до формуле за рјешења опште квадратне једначине x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Како су негативни коефицијенти досљедно избјегавани, ал Хорезми је класификовао 6 типова квадратних једначина, умјесто данашњег једног јединог – општег облика.

Размотримо метод рјешавања једне од типских квадратних једначина. Посматрајмо једначину x^2+10x=39. Ал Хорезми конструише тражени квадрат x^2, над њим четири правоугаоника висине \frac{10}{4}, тако да у угловима великог квадрата добије четири квадрата страница једнаких висинама правоугаоника тј. \frac{10}{4}. Одатле слиједи да је површина великог квадрата (x^2+4\cdot\frac{10}{4}\cdot x)+4\cdot(\frac{10}{4})^2=64, а страница x+2\cdot \frac{10}{4}=8. Рјешавајући посљедњу једначину, добија рјешење x=3 посматране квадратне једначине.

Advertisements

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s