Формуле за рјешења кубне једначине

Када су куб и ствар заједно
Једнаки неком константном броју
Пронађи друга два броја која се за тај разликују.


Тадa ћеш усвојити ово као навику
Да им производ треба
увијек бити једнак
Тачно кубу трећине од ствари,


Остаје онда као опште правило
Да ће разлика њихових кубних коријена
Бити једнака твојој основној ствари.

Овим је стиховима Тартаља одао Кардану формулу                                                                                   (слободан пријевод)

Општи облик једначине трећег степена (кубне једначине) са једном непознатом гласи: ax^3+bx^2+cx+d=0, гдје је a,b,c,d\in R и a\not=0. Ми ћемо рјешавати кубну једначину облика  x^3+ax^2+bx+c=0 (јасно је да се свака једначина општег облика може свести на овај облик и обратно). Извешћемо сада формулу за њена рјешења, на исти начин на који је то учинио Кардано у своме дјелу „Велика вјештина“.

Смјеном x=t-\frac{a}{3} горњу једначину сводимо на кубну једначину без квадратног члана (дату смјену лако одредимо методом неодређених коефицијената): t^3+(b-\frac{a^2}{3})t+(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)=0. Уводимо смјене b-\frac{a^2}{3}=u и \frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=v, сводимо претходну једначину на једначину облика t^3+ut+v=0.

Уведимо сљедеће смјене: t=p-q, u=3pq и -v=p^3-q^3 (директним уврштавањем у горњу једнакост можемо да се увјеримо да смо их добро увели). Рјешавањем система који чине посљедње двије једначине по непознатим величинама p и q, методом замјене, добијамо двије триномне једначине (рјешавамо их као квадратне једначине по непознатим p^3 и q^3): 27p^6+27vp^3-u^3=0 и 27q^6-27vq^3-u^3=0. Њихова рјешења рачунамо по формулама: {(p^3)_{1,2}=-\frac{v}{2}\pm\sqrt{\frac{v^2}{4}+\frac{u^3}{27}}} и {(q^3)_{1,2}=\frac{v}{2}\pm\sqrt{\frac{v^2}{4}+\frac{u^3}{27}}} тј. {p_{1,2,3,4,5,6}=\varepsilon_i\sqrt[3]{-\frac{v}{2}\pm\sqrt{\frac{v^2}{4}+\frac{u^3}{27}}}} и {q_{1,2,3,4,5,6}=\varepsilon_i\sqrt[3]{\frac{v}{2}\pm\sqrt{\frac{v^2}{4}+\frac{u^3}{27}}}} (\varepsilon_i су трећи коријени из једнице и рачунају се по формули {\varepsilon_i=\sqrt[3]{1}\cdot (cos\frac{0+2i\pi}{3}+i\cdot sin\frac{0+2i\pi}{3})}, i=0,1,2; \varepsilon_0=1{\varepsilon_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} и {\varepsilon_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}). Како је p\cdot q=1\cdot \frac{u}{3}p^3-q^3=-vp-q=t, добијамо да вриједи формула за рјешења t_{1,2,3}=\varepsilon_i\cdot\sqrt[3]{-\frac{v}{2}+\sqrt{\frac{v^2}{4}+\frac{u^3}{27}}}-\varepsilon_i^2\cdot\sqrt[3]{\frac{v}{2}+\sqrt{\frac{v^2}{4}+\frac{u^3}{27}}}, i=0,1,2.

Враћањем смјене, добијамо Карданове формуле за рјешења, x_{1,2,3}=\varepsilon_i\cdot\sqrt[3]{-\frac{a^3}{27}+\frac{ab}{6}-\frac{c}{2}+\sqrt{\frac{a^3c}{27}-\frac{a^2b^2}{108}-\frac{abc}{6}+\frac{b^3}{27}+\frac{c^2}{4}}}\\-\varepsilon_i^2\cdot\sqrt[3]{\frac{a^3}{27}-\frac{ab}{6}+\frac{c}{2}+\sqrt{\frac{a^3c}{27}-\frac{a^2b^2}{108}-\frac{abc}{6}+\frac{b^3}{27}+\frac{c^2}{4}}}-\frac{a}{3}i=0,1,2.

Није сада тешко написати Карданове формуле за рјешења опште кубне једначине: x_{1,2,3}=\varepsilon_i\cdot\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{b^3d}{27a^4}-\frac{b^2c^2}{108a^4}-\frac{bcd}{6a^3}+\frac{c^3}{27a^3}+\frac{d^2}{4a^2}}}\\-\varepsilon_i^2\cdot\sqrt[3]{\frac{b^3}{27a^3}-\frac{bc}{6a^2}+\frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{b^3d}{27a^4}-\frac{b^2c^2}{108a^4}-\frac{bcd}{6a^3}+\frac{c^3}{27a^3}+\frac{d^2}{4a^2}}}-\frac{b}{3a}i=0,1,2.

Advertisements

4 thoughts on “Формуле за рјешења кубне једначине

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s