Формуле за рјешења алгебарске једначине четвртог степена

Општи облик једначине четвртог степена са једном непознатом гласи: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, гдје је a,b,c,d,e\in R и a\not =0. Ми ћемо рјешавати једначину четвртог степена облика x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 (јасно је да се свака једначина општег облика може свести на овај облик и обратно). Извешћемо сада формулу за њена рјешења, на исти начин на који је то учинио Ферари. Смјеном x=t-\frac{a}{4}, сводимо је на једначину облика t^4+pt^2+qt+r=0 (дату смјену лако одредимо методом неодређених коефицијената), гдје је p=-\frac{3}{8}a^2+b, q=\frac{1}{8}a^3-\frac{ab}{2}+c и r=-\frac{3}{256}a^4+\frac{a^2b}{16}-\frac{ac}{4}+d.

Посљедњу једначину алгебарским трансформацијама сводимо на сљедећи облик: (t^2+p)^2=pt^2-qt+p^2-r. Додајмо на обје стране једнакости израз u^2+2t^2u+2pu. Добијамо сљедећу, њој еквивалентну, алгебарску једначину по непознатој t: (t^2+p+u)^2=pt^2-qt+p^2-r+u^2+2t^2u+2pu, гдје је u неки реалан број. Можемо је написати и у облику {(t^2+p+u)^2=\sqrt{p+2u}^2\cdot t^2-q\cdot t+\sqrt{p^2-r+u^2+2pu}^2}, уз услове p+2u\geq 0 и p^2-r+u^2+2pu\geq 0 (десна страна једнакости је увијек ненегативна јер је таква и лијева, њој једнака; услови слиједе из особина квадратне функције). Да би и на десној страни једнакости био потпуни квадрат, мора да вриједи једнакост {-q=\pm 2\cdot \sqrt{p+2u}\cdot \sqrt{p^2-r+u^2+2pu}} тј. q^2=4\cdot (p+2u)\cdot (p^2-r+u^2+2pu). Реалан број u ћемо добити као рјешење кубне једначине 8u^3+20pu^2+(16p^2-8r)u+4p^3-4pr-q^2=0 (кубна једначина има бар једно реално рјешење; посљедица основне теореме алгебре) тј. једначине 8u^3+20(-\frac{3}{8}a^2+b)u^2+(\frac{75a^4}{32}-\frac{25a^2b}{2}+2ac+16b^2-8d)u-\frac{125a^6}{512}+\frac{125a^4b}{64}-\frac{5a^3c}{8}-5a^2b^2+\frac{3a^2d}{2}+2abc+4b^3-4bd-c^2=0.

Одредимо сада рјешења алгебарске једначине по непознатој t(t^2+p+u)^2=(\sqrt{p+2u}\cdot t-\sqrt{p^2-r+u^2+2pu})^2 ако је q>0 или (t^2+p+u)^2=(\sqrt{p+2u}\cdot t+\sqrt{p^2-r+u^2+2pu})^2 ако је q<0 (ако је q=0, једначина t^4+pt^2+qt+r=0 се своди на биквадратну t^4+pt^2+r=0, коју знамо да ријешимо). Зависно од q, рјешавамо двије од сљедеће четири квадратне једначине: t^2-\frac{3}{8}a^2+b+u=\pm (\sqrt{-\frac{3}{8}a^2+b+2u}\cdot t-\sqrt{\frac{39a^4}{256}-\frac{13a^2b}{16}+\frac{ac}{4}+b^2-d+u^2-\frac{3}{4}a^2+2bu}) или t^2-\frac{3}{8}a^2+b+u=\pm (\sqrt{-\frac{3}{8}a^2+b+2u}\cdot t+\sqrt{\frac{39a^4}{256}-\frac{13a^2b}{16}+\frac{ac}{4}+b^2-d+u^2-\frac{3}{4}a^2+2bu}). Рјешавамо их помоћу Фераријевих формула, које су у ствари формуле за рјешења одговарајућих квадратних једначина. Добијамо четири рјешења t_1,t_2,t_3 и t_4 . Враћајући смјену, добијамо тражена рјешења полазне једначине: x_i=t_i-\frac{a}{4}, i=1,2,3,4.

Advertisements

2 thoughts on “Формуле за рјешења алгебарске једначине четвртог степена

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s