Формуле за рјешења алгебарске једначине четвртог степена

Општи облик једначине четвртог степена са једном непознатом гласи: $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ , гдје је $a,b,c,d,e\in R$ и $a\not =0$ . Ми ћемо рјешавати једначину четвртог степена облика $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ (јасно је да се свака једначина општег облика може свести на овај облик и обратно). Извешћемо сада формулу за њена рјешења, на исти начин на који је то учинио Ферари. Смјеном $x=t-\frac{a}{4}$ , сводимо је на једначину облика $t^4+pt^2+qt+r=0$ (дату смјену лако одредимо методом неодређених коефицијената), гдје је $p=-\frac{3}{8}a^2+b$ , $q=\frac{1}{8}a^3-\frac{ab}{2}+c$ и $r=-\frac{3}{256}a^4+\frac{a^2b}{16}-\frac{ac}{4}+d$ .

Посљедњу једначину алгебарским трансформацијама сводимо на сљедећи облик: $(t^2+p)^2=pt^2-qt+p^2-r$ . Додајмо на обје стране једнакости израз $u^2+2t^2u+2pu$ . Добијамо сљедећу, њој еквивалентну, алгебарску једначину по непознатој $t$ : $(t^2+p+u)^2=pt^2-qt+p^2-r+u^2+2t^2u+2pu$ , гдје је $u$ неки реалан број. Можемо је написати и у облику ${(t^2+p+u)^2=\sqrt{p+2u}^2\cdot t^2-q\cdot t+\sqrt{p^2-r+u^2+2pu}^2}$ , уз услове $p+2u\geq 0$ и $p^2-r+u^2+2pu\geq 0$ (десна страна једнакости је увијек ненегативна јер је таква и лијева, њој једнака; услови слиједе из особина квадратне функције). Да би и на десној страни једнакости био потпуни квадрат, мора да вриједи једнакост ${-q=\pm 2\cdot \sqrt{p+2u}\cdot \sqrt{p^2-r+u^2+2pu}}$ тј. $q^2=4\cdot (p+2u)\cdot (p^2-r+u^2+2pu)$ . Реалан број $u$ ћемо добити као рјешење кубне једначине $8u^3+20pu^2+(16p^2-8r)u+4p^3-4pr-q^2=0$ (кубна једначина има бар једно реално рјешење; посљедица основне теореме алгебре) тј. једначине $8u^3+20(-\frac{3}{8}a^2+b)u^2+(\frac{75a^4}{32}-\frac{25a^2b}{2}+2ac+16b^2-8d)u-\frac{125a^6}{512}+\frac{125a^4b}{64}-\frac{5a^3c}{8}-5a^2b^2+\frac{3a^2d}{2}+2abc+4b^3-4bd-c^2=0$ .

Одредимо сада рјешења алгебарске једначине по непознатој $t$ : $(t^2+p+u)^2=(\sqrt{p+2u}\cdot t-\sqrt{p^2-r+u^2+2pu})^2$ ако је $q>0$ или $(t^2+p+u)^2=(\sqrt{p+2u}\cdot t+\sqrt{p^2-r+u^2+2pu})^2$ ако је $q<0$ (ако је $q=0$ , једначина $t^4+pt^2+qt+r=0$ се своди на биквадратну $t^4+pt^2+r=0$ , коју знамо да ријешимо). Зависно од $q$ , рјешавамо двије од сљедеће четири квадратне једначине: $t^2-\frac{3}{8}a^2+b+u=\pm (\sqrt{-\frac{3}{8}a^2+b+2u}\cdot t-\sqrt{\frac{39a^4}{256}-\frac{13a^2b}{16}+\frac{ac}{4}+b^2-d+u^2-\frac{3}{4}a^2+2bu})$ или $t^2-\frac{3}{8}a^2+b+u=\pm (\sqrt{-\frac{3}{8}a^2+b+2u}\cdot t+\sqrt{\frac{39a^4}{256}-\frac{13a^2b}{16}+\frac{ac}{4}+b^2-d+u^2-\frac{3}{4}a^2+2bu})$ . Рјешавамо их помоћу Фераријевих формула, које су у ствари формуле за рјешења одговарајућих квадратних једначина. Добијамо четири рјешења $t_1,t_2,t_3$ и $t_4$ . Враћајући смјену, добијамо тражена рјешења полазне једначине: $x_i=t_i-\frac{a}{4}$ , $i=1,2,3,4$ .