Подјела троугла најкраћом дужи на два дијела једнаких површина

Суочен сам с једним проблемом који је везан за геометрију. Како најкраћом дужи подијелити једнакокраки троугао на двије једнаке површине? И да ли рјешење овог проблема има везе са златним пресјеком?

(Обренова питања)

Посматрајмо произвољан троугао \Delta ABC и подијелимо га дужи d, са крајњим тачкама D и E на страницама a и b, на два дијела (CD=e; CE=f).

Ако желимо да подјела буде таква да су та два дијела једнаких површина, имамо да вриједи: P_{\Delta CDE}=\frac{1}{2}\cdot P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot P. Како је P_{\Delta CDE}=e\cdot f\cdot sin\gamma, Добијамо да вриједи e\cdot f=\frac{P}{2\cdot sin\gamma}=\frac{a\cdot b\cdot sin\gamma}{2\cdot sin\gamma}=\frac{a\cdot b}{2}.

Примјеном косинусне теореме добијамо: d^2=e^2+f^2-2\cdot e\cdot f\cdot cos\gamma=(e-f)^2+2ef(1-cos\gamma)=(e-f)^2+a\cdot b\cdot (1-cos\gamma)=(e-f)^2+const. Јасно, да је дуж d најкраћа када вриједи e-f=0 тј. e=f=\sqrt{\frac{a\cdot b}{2}}. Њена дужина тада износиd=\sqrt{a\cdot b\cdot (1-cos\gamma)}=\sqrt{a\cdot b\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\gamma})}. На сличан начин, мијењајући положај дужи d, можемо да добијемо сљедеће двије формуле: d=\sqrt{b\cdot c\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\alpha})} (крајеви дужи d су на страницама b и c;e=f=\sqrt{\frac{b\cdot c}{2}}) и d=\sqrt{a\cdot c\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\beta})} (крајеви дужи d су на страницама a и c;e=f=\sqrt{\frac{a\cdot c}{2}}). Закључујемо да је дуж d најкраћа када њени крајеви леже на страницама налеглим на краке угла којег је синус најмањи.

Посматрајмо сада једнакокраки троугао, нека вриједи a=b и \alpha=\beta. На основу синусне теореме вриједи формула: sin\gamma=\frac{a\cdot sin\alpha}{b}=\frac{a\cdot \frac{h_a}{b}}{b}=\frac{a}{b^2}\cdot\sqrt{\frac{4b^2-a^2}{4}}. Одатле добијамо да вриједи: sin^2\gamma=\frac{4a^2b^2-a^4}{4b^4}. Такође добијамо да вриједи формула sin^2\alpha=1-(\frac{a}{2b})^2. Разликоваћемо два случаја:

1. \gamma\leq\alpha тј. sin\gamma\leq sin\alpha

Вриједи формула за дужину најкраће дужи која дијели дати једнакокраки троугао на два дијела једнаких површина d=\sqrt{b^2 (1-\sqrt{1-sin^2\gamma})}=\sqrt{b^2 (\frac{a^2}{2b^2})}=\frac{a\cdot\sqrt{2}}{2} и формула за дужине дужиe=f=\frac{b\cdot\sqrt{2}}{2};

2. \alpha<\gamma тј. sin\alpha<sin\gamma (вриједи и за тупоугле једнакокраке троуглове)

Вриједи формула за дужину најкраће дужи која дијели дати једнакокраки троугао на два дијела једнаких површина d=\sqrt{a\cdot b\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\alpha})}=\sqrt{ab\cdot\frac{2b-a}{2b}}=\sqrt{a\cdot(2b-a)}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} и формула за дужине дужи e=f=\frac{\sqrt{a\cdot b}\cdot\sqrt{2}}{2}.

Рјешење овог проблема нема везе са златним пресјеком.

Advertisements

4 thoughts on “Подјела троугла најкраћом дужи на два дијела једнаких површина

  1. Хвала Вам професоре! Одговор је заиста исцрпан. Уколико буде додатних нејасноћа, бићу слободан да Вам се обратим.

  2. Исцрпан и коректан доказ. Нема везе са златним пресеком. А зашто би и имао?

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s