Платонова тијела

,,Почећемо од првог облика, чији је састав најједноставнији и најмањи. Његов елемент је троугао чија је хипотенуза двоструко дужа од краће странице. Ако се два троугла споје својим хипотенузама, и ако се све то три пута понови, тако да се и дијагонале краће странице ослањају на исту, као на центар, добија се један једнакостранични троугао, који постаје од ових шест. А таква четири јенакостранична троугла састаће се тако да по три њихова пвршинска угла чине један чврсти угао, чија величина непосредно превазилази величину највећег тупог површинског угла. Пошто су довршена четири таква рогља, састављен је први чврсти облик, који може дијелити на једнаке и сличне делове сваку сферу.” [ 54e] [6] 

,,Други је облик од истих троуглова: осам једнакостраничних троуглова је састављено тако да по четири равна угла образују један чврсти. Када настане шест таквих углова, довршено је тијело другог облика.” [55a] [6] 

,,Трећи облик је спојен од сто двадесет основних троуглова и дванаест чврстих углова, од којих је сваки обухваћен од пет једнакостраничних равних углова, док он има двадесет једнакостраничних троуглова за основе.” [55b] [6]

,,И пошто су рођена ова тијела, један од елемената је завршио своје, док је равнокраки троугао родио природу четвртог. Он је састављен тако што су по четири таква троугла, са својим правим угловима, спојена у центру, образујући тако једнакостранични четвороугао. Шест квадрата спојено је тако да образују осам чврстих углова, сваки ограничен са по три равна угла.Облик тако састављеног тела је коцка, која има шест четвороуглих равностраних основа.” [ 55c] [6]

,,Постоји још један, пети састав: Бог га је употребио за свемир, осликавајући на њему ликове.” [55c] [6]

Платон (Тимаиос; 350. год. пне)

 Полиедар је геометријско тијело ограничено са четири или више многоуглова. Свака страница било ког од тих многоуглова (стране полиедра) је уједно и страница неког њему сусједног многоугла који са њим не лежи у истој равни (називамо их ивицама полиедра, док крајње тачке ивица називамо тјеменима полиедра). Ријеч полиедар је грчког поријекла (πολυς – много; εδρον – површ).

Конвексан полиедар је правилан ако су све његове стране правилни многоуглови са једнаким бројем страница и сви његови рогљеви имају једнак број ивичних углова. Угао правилног n-тоугла се рачуна по формули \alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ. Ако је m (m=3,4,5…) број ивица из једног тјемена правилног полиедра, мора да вриједи m\cdot\alpha<360^\circ тј. mn-2m<2n. За n\geq 3 је m<6 и За m\geq 3 је n<6. Одатле слиједи да постоји тачно пет правилних полиедара:

  1. {3,3} тетраедар (4 стране);
  2. {3,4} октаедар (8 страна);
  3. {3,5} икосаедар (20 страна);
  4. {4,3} хексаедар, коцка (6 страна);
  5. {5,3} додекаедар (12 страна).

На сљедећем видеу можете да видите правилне полиедре и објашњење зашто их нема више од пет:

Правилни полиедри се још називају и Платонова тијела, међу првима их је описао Платон у једном од својих дијалога (Тимаиос, 350. год. пне). Он је наведене облике повезао са „елементима“ зависно од њихове „покретљивости“; ватра је добила облик тетраедра, земља облик коцке, вода облик икосаедра, ваздух облик октаедра, док је додекаедар најсложенији па претставља читав универзум.

За Платонова тијела се знало много прије Платона. Материјални докази познавања неких од ових тијела потичу још из древног Египта. Конструкције тетраедра, коцке и додекаедра приписују се Питагорејцима, док се конструкција преосталих двају тијела приписује Теетету (414-369. год. пне; Тринаесту и последњу књигу Елемената, Еуклид је посветио правилним полиедрима, а приписује се Теетету; у њој се може наћи начин конструкције пет правилних полиедара).

Правилни полиедри су једни од ријетких геометријских тијела која се јављају у природи, што смо већ могли да видимо у BBC-јевом документарцу Код (Облици; други дио).

Правилни полиедри су неки од облика у којима се праве коцкице за игру.

Овдје можете да видите како Платонова тијела „изгледају“ у четвртој димензији (хипертетраедар; хипероктаедар; хиперикосаедар; хиперхексаедар, хиперкоцка; хипердодекаедар).

Advertisements

6 thoughts on “Платонова тијела

    • 🙂 Колегинице, ако их икада набавим, прво Вама шаљем! 🙂 Невјероватно, „коцкице“ са фотографије су се излизале од употребе а код „нас“ их никада нисам ни видио! 🙂

  1. Повратни пинг: Površina i zapremina tela « On-line učionica

  2. Jao, moram opet ovde da se oglasim: pre neki dan jedan kolega (nije matematičar) doneo ikosaedarčić u školu i napravio pomamu među matematičarkama 😀 Dale smo sve od sebe da ga šarmiramo da nam ga pokloni, ali nije vredelo… Kaže da mu treba, jer mu pomaže da proziva đake za odgovaranje – koji broj padne – taj broj iz dnevnika odgovara… Neverovatna primena! 😀

    • Хахахахахаха! Фантастично 🙂 Да је и нама један такав икосаедарчић 😀 Нисам још никако имао прилику да видим уживо такве коцкице за игру, ви сте привилеговане! 😉

  3. Повратни пинг: Pravilni poliedri | On-line učionica

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s