Уламова спирала, „Град и звијезде“ и Ојлеров полином

„Јесерак је непомично сједио у вртлогу цифара. Првих хиљаду простих бројева, изражених у бинарном систему који се користио за све аритметичке операције од открића електронских рачунара, низали су се у поретку пред њим. Бескрајне серије састављене од само два симбола, „1“ и „0“, неуморно су промицале пред Јесераковим очима, употпуњавајући низ оних бројева чија је главна особина да се могу дијелити само самим собом и јединицом. Постојала је извјесна тајанственост у вези са простим бројевима која је одувијек опчињавала човјека, и још увијек заокупља његову машту.

Јесерак није био математичар, мада му се понекад допадало да вјерује како јесте. Све што је могао да уради било је да трага по бескрајном низу простих бројева за посебним односима и правилима које би надаренији људи објединили у општије законе. Он је био у стању да пронађе како се бројеви понашају, али није умио да објасни зашто. Уживао је у томе да крчи за себе пут кроз аритметичку џунглу, а с времена на вријеме уочавао би необичности које су промакле и вјештијим истраживачима.

Поставио је матрицу свих могућих природних бројева и подесио компјутер да
ниже просте бројеве преко њене површине, што је личило на перле распоређене по пресјецима неке мреже. Јесерак је то учинио већ стотину пута, али никада ништа није открио. Међутим, опчињавао га је начин на који су бројеви што их је проучавао биле размјештени, на први поглед без икакве правилности, дуж читавог низа природних бројева. Знао је за законе дистрибуције који су већ били утврђени, али није губио наду да ће открити нешто ново.“

Артур Кларк (Град и звијезде,1956)

У својој аутобиографији ‘’Авантуре једног математичара“, Улам (Stanislaw Marcin Ulam, 1909-1984) прича о једном догађају којег се сјећа из дјетињства: ‘’Када ми је било четири године, сјећам се да сам скакао по персијском ћилиму, и сјећам се високе фигуре свог оца како ме гледа и осмјехује се. Тада сам помислио, да се он тако осмјехује јер мисли да сам ја дјетињаст, али да ја знам да су ове шаре на ћилиму занимљиве. Нисам можда дословце тако мислио, али сигуран сам да сам осјећао да знам нешто што мој отац не зна. Можда ја знам више него он.“

Тако је Улам неком приликом 1963, вјероватно досађујући се, записивао природне бројеве у квадратну спиралу.

Ulam

Убрзо након тога, у вријеме раног развоја компјутерске графике, Улам је у сарадњи са Стејном (Myron Stein) и Велсом (Mark Wells) користећи рачунар MANIAC II у Лос Аламосовој лабораторији, направио слику спирале за бројеве до 65000.

Ulam1

На слици горе (димензија 200×200) црне тачке представљају просте бројеве. Улам је примјетио да се прости бројеви налазе углавном на дијагоналама ове шаре.

Замислимо сада, да су бројеви низани у спиралу почевши од броја 41, умјесто од јединице.

Ulam41

Лако се покаже да се бројеви на дијагонали која садржи број 41 нижу по формули f_1(n)=4n^2+2n+41 у горњи десни угао а по формули f_2(n)=4n^2-2n+41 у доњи лијеви угао. Полиноме можемо записати и на сљедећи начин: f_1(n)=(2n+1)^2-(2n+1)+41 иf_2(n)=(2n)^2-(2n)+41. Видимо да ова два полинома можемо да објединимо у један полином f(n)=n^2-n+41. Ово је полином који је открио Ојлер (Leonhard Euler, 1707-1783) и даје различите просте вриједности за n=1,...,40 (генерише 40 простих бројева). Ти прости бројеви се налазе један до другог на дијагонали Уламове спирале која почиње бројем 41.

Занимљива је могућност да је Улам читао књигу „Град и звијезде“ Артура Кларка и урадио оно што писац у то вријеме није могао, уз помоћ рачунара изаткао ћилим чије су шаре прости бројеви, не би ли открио нешто ново, нешто што је Кларковом јунаку Јесераку промакло.

Advertisements

2 thoughts on “Уламова спирала, „Град и звијезде“ и Ојлеров полином

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s