61. страница Диофантове Аритметике

На 61. страници друге књиге Диофантове аритметике (издање из 1670. године; видјети на слици горе) се налази сљедећи проблем (осми по реду):

Проблем 1. Дати квадрат разложити на два квадрата.

РЈЕШЕЊЕ: Прикажимо овдје Диофантово рјешење. Он рјешава конкретан проблем, на чијем се рјешењу показује општи метод. Разложимо број 16 на два квадрата. Претпоставимо да је први број {x^2}. Тада је други број {16-x^2} такође квадрат. Други квадрат за страницу има неколико {x} – ова умањених за онолико јединица колико их има у страници квадрата 16. Нека је страница тог квадрата {2x-4}. Тада је други квадрат једнак {4x^2+16-16x} и он мора бити једнак са {16-x^2}. Додајући недостајуће за оба квадрата и избацивши из оба једнаке делове добија се да је {5x^2} једнако {16x}. На крају је {x} једнак броју {\frac{16}{5}}. Закључујемо да је један квадрат {\frac{256}{25}}, а други {\frac{144}{25}}. Сабрани дају {\frac{400}{25}} или 16, што је опет квадрат. \Box

Диофант је очигледно рјешавао проблем: „Изразити квадрат рационалног броја као збир квадрата два рационална броја.“

Нека је {b} задани рационалан број и нека је {x^2+y^2=b^2}, гдје су {x} и {y} рационална рјешења претходне једначине. Увео је смјену {y=ax-b} гдје је {a} произвољан рационалан број (као што смо видјели, користио је другачију нотацију јер у његово вријеме негативни бројеви и нула нису били познати). Датом смјеном, полазна једначина се трансформише у {b^2-x^2=a^2x^2-2abx+b^2} , односно, {2abx=(a^2+1)x^2}. Одатле је {x=\frac{2ab}{a^2+1}} и {y=b\frac{a^2-1}{a^2+1}}. Узимајући да је {b=4} Диофант је за {a=2} добио рјешења {x=\frac{16}{5}} и {y=\frac{12}{5}}.

Узимајући {b=1} и {a=\frac{m}{n}}, послије пар трансформација добијамо: {(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2}. Добили смо опште рјешење {(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)} једначине {x^2+y^2=z^2}, које се први пут појављује у Еуклидовим елементима (књига X, задатак 29.), тзв. примитивне Питагорине тројке ({m,n\in N}, {(m,n)=1}, {m>n}, {m} и {n} су различите парности).

Осим приказаног проблема, 61. страница поменутог издања друге књиге Диофантове Аритметике, садржи Фермаову примједбу коју је он записао на маргинама (чувена велика Фермаова теорема):

Теорема 1. (Ферма)Немогуће је да се куб напише као збир два куба, нити да се четврти степен напише као збир четвртих степена и, уопште, да се било који број који је степен већи од другог напише као збир два иста таква степена.

Уз то је дописао: „Нашао сам заиста изванредан доказ овог тврђења, али је ова маргина сувише уска да би се доказ могао смјестити.“

У савременим ознакама велика Фермаова теорема би гласила: „Ако је {n} ма који природан број већи од 2, онда не постоје природни бројеви {x}, {y} и {z} такви да је {x^n+y^n=z^n}„.

Фермаов доказ никада није пронађен. Пронађен је његов доказ за специјалан случај {n=4}.

Проблем 2. Доказати да једначина {x^4+y^4=z^4} нема рјешења у скупу природних бројева.

ДОКАЗ: Докажимо да једначина {x^4+y^4=z^2} нема рјешења у скупу природних бројева. Претпоставимо супротно, да рјешење постоји и да је {(x, y, z)} такво рјешење са минималним {z}. Један од бројева {x} и {y} је паран, а други непаран. Нека је, без смањена општости, {y} паран. {(x^2, y^2, z)} је примитивна Питагорина тројка, па постоје узајамно прости природни бројеви {m} и {n} такви да је {x^2=m^2-n^2}, {y^2=2mn} и {z=m^2+n^2}. {(x, n, m)} је такође примитивна Питагорина тројка, па постоје узајамно прости природни бројеви {u} и {v} такви да је {x=u^2-n^2}, {n=2uv} и {m=u^2+v^2}. Уврштавањем у {y^2=2mn} добијамо да вриједи {(\frac{y}{2})^2=uv(u^2+v^2)}. {uv} и {u^2+v^2} су узајамно прости јер су такви {m} и {n} тј. {u^2+v^2} и {2uv}. Њихов производ је квадрат природног броја па постоје природни бројеви {c} и {d} такви да вриједи {uv=d^2} и {u^2+v^2=c^2}. Пошто су {u} и {v} узајамно прости, на исти начин закључујемо да постоје природни бројеви {a} и {b} такви да вриједи {u=a^2} и {v=b^2}. Уврштавањем у {u^2+v^2=c^2} добијамо да вриједи {a^4+b^4=c^2}. Уређена тројка {(a, b, c)} је такође рјешење полазне једначине таква да вриједи {c^2=u^2+v^2=m=\sqrt{m^2}<\sqrt{m^2+n^2}=\sqrt{z}<z^2} тј. {c<z}, што је у контрадикцији са избором рјешења {(x, y, z)}. Специјално, једначина {x^4+y^4=(z^2)^2} нема природних рјешења, што је и требало доказати. \Box

Ова метода доказивања је позната као (Фермаова) метода бесконачног смањивања.

Advertisements

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s