Настанак комплексних бројева

Посматрајмо квадратну једначину {x^2=ax+b}. Ми знамо да се њена рјешења добијају помоћу формуле {x_{1,2}=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}+b}}. Њена рјешења такође можемо графички да одредимо као апсцисе пресјечних тачака графика функција {y=x^2} и {y=ax+b} у правоуглом координатном систему. Ако се графици поменутих функција не сијеку, тада једначина нема рјешења. Једна од таквих једначина је и {x^2=-1}.

Иако се често тврди да је рјешавање те једначине довело до увођења имагинарне јединице {i=\sqrt{-1}} и настанка комплексних бројева, историјски гледано, то није тачно. Пошто се графици одговарајуће линеарне и квадратне функције не сијеку, за њена нереална рјешења једноставно није било интереса.

До комплексних бројева се дошло рјешавањем кубне једначине облика {x^3=px+q}, која увијек има бар једно реално рјешење, јер се графици функција {y=x^3} и {y=px+q} увијек сијеку. Ми знамо да се једначина наведеног облика рјешава по формули:

\displaystyle x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}+\frac{q}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}-\frac{q}{2}}

.

Примјер 1. Ријешимо кубну једначину {x^3=-6x+20}.

Видимо да је {p=-6} и {q=20}. Користећи формулу добијамо рјешење:

{x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{400}{4}-\frac{-216}{27}}+\frac{20}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{400}{4}-\frac{-216}{27}}-\frac{20}{2}}} {x=\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}=2}.

30 година након открића ове формуле, Бомбели (Bombelli, 1526-1572) ју је користио за рјешавање кубне једначине тог типа.

Примјер 2. (Бомбели) Рјешавао је кубну једначину {x^3=15x+4}.

Јасно да је {p=15} и {q=4}. Користећи формулу добио је рјешење:

{x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{3375}{27}}+\frac{4}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{3375}{27}}-\frac{4}{2}}} {x=\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}} {x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}}.

То не би било ништа чудно да се графици функција {y=x^3} и {y=15x+4} не сијеку.

Чињеница да реално рјешење постоји, довела је Бомбелија до открића да вриједе једнакости {\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}} и {\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-\sqrt{-1}}, односно до настанка комплексних бројева. Тачност наведених једнакости се лако провјерава њиховим кубирањем, водећи рачуна да је {\sqrt{-1}^2=-1}, шта год било то {\sqrt{-1}}. Уврштавањем је добио тражено рјешење {x=4}.

Ми данас о комплексним бројевима много тога знамо, између осталог да имају реалан и имагинаран дио, што можете да видите у сљедећем забавном видеу једног наставника математике. Након што га погледате, можда и ви пожелите да будете наставници.

Advertisements

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s