Зашто волим математику?

Advertisements

Математика је скривена тајна за разумијевање света

Math is the hidden secret to understanding the world

Откључајте мистерије и унутрашње дјелање свијета кроз један од најмаштовитијих облика умјетности икада – математику – са Роџером Антонсеном, док он објашњава како мала промјена у перспективи може открити обрасце, бројеве и формуле као основ за емпатију и разумијевање. Видео је са сајта ted.com, доступан вам је српски пријевод.

Cédric Villani: What’s so sexy about math?

Hidden truths permeate our world; they’re inaccessible to our senses, but math allows us to go beyond our intuition to uncover their mysteries. In this survey of mathematical breakthroughs, Fields Medal winner Cédric Villani speaks to the thrill of discovery and details the sometimes perplexing life of a mathematician. „Beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure,“ he says. „They change our vision of the world.“

Eduaro Sanc de Kabeson: Математика је вјечна

Eduardo Sáenz de Cabezón: Math is forever

Погледајте овај видео са сајта ted.com, у којем нам, уз очаравајући хумор, математичар Eduaro Sanc de Kabeson даје одговор на питање које излуђује ученике широм света: чему служи математика? Показује нам љепоту математике која представља саму основу науке. Теореме, а не дијамати, су вјечни. Доступан вам је српски пријевод.

Роберт Ланг: Математика и чаролија оригамија

Robert Lang: The math and magic of origami

Погледајте овај видео са сајта ted.com, у коме Роберт Ланг, пионир најновије врсте оригамија, користи математичке и инжињерске принципе као основу за стварање невјероватних облика, који осим што су лијепи, понекад могу да буду и веома корисни. Доступан вам је хрватски пријевод овог занимљивог видеа.

Настанак комплексних бројева

Посматрајмо квадратну једначину {x^2=ax+b}. Ми знамо да се њена рјешења добијају помоћу формуле {x_{1,2}=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}+b}}. Њена рјешења такође можемо графички да одредимо као апсцисе пресјечних тачака графика функција {y=x^2} и {y=ax+b} у правоуглом координатном систему. Ако се графици поменутих функција не сијеку, тада једначина нема рјешења. Једна од таквих једначина је и {x^2=-1}.

Иако се често тврди да је рјешавање те једначине довело до увођења имагинарне јединице {i=\sqrt{-1}} и настанка комплексних бројева, историјски гледано, то није тачно. Пошто се графици одговарајуће линеарне и квадратне функције не сијеку, за њена нереална рјешења једноставно није било интереса.

До комплексних бројева се дошло рјешавањем кубне једначине облика {x^3=px+q}, која увијек има бар једно реално рјешење, јер се графици функција {y=x^3} и {y=px+q} увијек сијеку. Ми знамо да се једначина наведеног облика рјешава по формули:

\displaystyle x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}+\frac{q}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}-\frac{q}{2}}

.

Примјер 1. Ријешимо кубну једначину {x^3=-6x+20}.

Видимо да је {p=-6} и {q=20}. Користећи формулу добијамо рјешење:

{x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{400}{4}-\frac{-216}{27}}+\frac{20}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{400}{4}-\frac{-216}{27}}-\frac{20}{2}}} {x=\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}=2}.

30 година након открића ове формуле, Бомбели (Bombelli, 1526-1572) ју је користио за рјешавање кубне једначине тог типа.

Примјер 2. (Бомбели) Рјешавао је кубну једначину {x^3=15x+4}.

Јасно да је {p=15} и {q=4}. Користећи формулу добио је рјешење:

{x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{3375}{27}}+\frac{4}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{3375}{27}}-\frac{4}{2}}} {x=\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}} {x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}}.

То не би било ништа чудно да се графици функција {y=x^3} и {y=15x+4} не сијеку.

Чињеница да реално рјешење постоји, довела је Бомбелија до открића да вриједе једнакости {\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}} и {\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-\sqrt{-1}}, односно до настанка комплексних бројева. Тачност наведених једнакости се лако провјерава њиховим кубирањем, водећи рачуна да је {\sqrt{-1}^2=-1}, шта год било то {\sqrt{-1}}. Уврштавањем је добио тражено рјешење {x=4}.

Ми данас о комплексним бројевима много тога знамо, између осталог да имају реалан и имагинаран дио, што можете да видите у сљедећем забавном видеу једног наставника математике. Након што га погледате, можда и ви пожелите да будете наставници.