Есхер

Овај приказ слајдова захтева јаваскрипт.

Холандски сликар и графичар Есхер (Maurits Cornelius Escher, 1898-1972) је користио математику у стварању својих цртежа и графика иако није имао неко посебно математичко образовање. За вријеме трајања математичког конгреса 1954. године у Амстердаму, постављена је изложба његових радова и била је прави хит. Његов рад карактерише крајње перфекционистичка израда детаља. Галерију радова можете погледати на сајту: http://www.mcescher.com/ . Неке од њих сте већ видјели на слајд шоу приказу слика.

Први додир са математиком имао је када му је његов брат Берден (један од четири старија брата), професор геологије на универзитету у Лејдену, препознавши везу између његових дрвореза и кристалографије, послао списак научних радова који би му могли бити од помоћи.

На Есхера је велики утицај имала посјета Алхамбра палачи у Шпанији, која је била по његовим ријечима најбогатији извор инспирације који је икад имао. Био је фасциниран а помало и опсједнут партиционисањем равни на подударне дијелове, посебно након друге посјете Алхамбри (1936).

Есхер је читајући Пољине (George Polya, 1887-1985) радове о групама симетрија у равни, иако није разумио појам група, схватио 17 група симетрија које су тамо описане. У периоду од 1937. до 1941. Нацртао је 43 цртежа у боји са разним типовима симетрија. Вршио је систематска математичка истраживања користећи нотацију коју је сам смислио. Његове свеске су доказ да је био математичар истраживач највишег реда; развио је властити систем категоризације који покрива све могуће комбинације облика, боја и типова симетрија. Вршио је истраживања на пољу кристалографије, која је тада била неистражена, годинама прије него иједан професионални математичар.

Осим тога је у својим бројним графичким радовима вршио партиционисање равни на дијелове који су слични и бесконачно се повећавају или смањују. У неким радовима је представљао и разне тродимензионалне геометријске објекте (лопте, коцке, стубове, правилне полиедре итд.), примјењујући идеју партиционисања равни на подударне дијелове на неке од њих. У његовим радовима су представљени разни математички појмови (разне криве, чворови, итд.). Био је фасциниран топологијом што је изразио у графикама sa Мебијусовом траком.

Важно је споменути Есхерово пријатељство са канадским математичаром Коксетером (Harold Scott MacDonald „Donald“ Coxeter, 1927-2003). Након што су се упознали 1954. постали су доживотни пријатељи. Есхер је читао његове радове из хиперболичке геометрије.  Иако није разумио теорију, могао је да схвати правила у вези хиперболичких мозаика посматрајући само дијаграме на папиру. Коксетер је објавио један рад у којем доказује да је Есхер достигао савршенство у једном од својих бакрописа, не погријешивши ни милиметар. Ово показује Есхерову невјероватну способност да комбинује своје умјетничке вјештине и технике које је научио од других да створи математички савршен умјетнички дизајн. Успијевао је да у дводимензионалној равни представи хиперболички и тродимензионални простор.

У својим каснијим годинама много је научио од британског математичара Рогера Пенросеа (Sir Roger Penrose, 1931), разрадио је и умјетнички приказао Пенросове немогуће предмете у својим радовима. Желим да споменем и серију његових радова под називом „Преображај“ у којима је приказао трансформацију једних објеката у друге, низом малих равномјерно распоређених промјена у равни.

У својим раним радовима је био сконцентрисан на портрете, римске и италијанске крајолике и природу. У средњој школи је био јако лош у математици. Упркос томе, животни пут га је водио према математици дајући његовом будућем умјетничком стваралаштву једно потпуно другачије усмјерење. Његово дјело је диван примјер како се математичко мишљење и стваралаштво може испољити код некога ко по својој професији није математичар. На једном предавању Есхер је изјавио да се осјећа ближи људима који се баве научним радом него својим колегама умјетницима. Погледајте сљедећи видео инспирисан његовим дјелом који приказује како би изгледало његово радно мјесто.

[vimeo http://vimeo.com/36296951]

Погледајте и сљедећу 3Д анимацију инспирисану његовом посљедњом графиком, дрворезом „Змије“.

[vimeo http://vimeo.com/804787]

Advertisements

Платонова тијела

,,Почећемо од првог облика, чији је састав најједноставнији и најмањи. Његов елемент је троугао чија је хипотенуза двоструко дужа од краће странице. Ако се два троугла споје својим хипотенузама, и ако се све то три пута понови, тако да се и дијагонале краће странице ослањају на исту, као на центар, добија се један једнакостранични троугао, који постаје од ових шест. А таква четири јенакостранична троугла састаће се тако да по три њихова пвршинска угла чине један чврсти угао, чија величина непосредно превазилази величину највећег тупог површинског угла. Пошто су довршена четири таква рогља, састављен је први чврсти облик, који може дијелити на једнаке и сличне делове сваку сферу.” [ 54e] [6] 

,,Други је облик од истих троуглова: осам једнакостраничних троуглова је састављено тако да по четири равна угла образују један чврсти. Када настане шест таквих углова, довршено је тијело другог облика.” [55a] [6] 

,,Трећи облик је спојен од сто двадесет основних троуглова и дванаест чврстих углова, од којих је сваки обухваћен од пет једнакостраничних равних углова, док он има двадесет једнакостраничних троуглова за основе.” [55b] [6]

,,И пошто су рођена ова тијела, један од елемената је завршио своје, док је равнокраки троугао родио природу четвртог. Он је састављен тако што су по четири таква троугла, са својим правим угловима, спојена у центру, образујући тако једнакостранични четвороугао. Шест квадрата спојено је тако да образују осам чврстих углова, сваки ограничен са по три равна угла.Облик тако састављеног тела је коцка, која има шест четвороуглих равностраних основа.” [ 55c] [6]

,,Постоји још један, пети састав: Бог га је употребио за свемир, осликавајући на њему ликове.” [55c] [6]

Платон (Тимаиос; 350. год. пне)

 Полиедар је геометријско тијело ограничено са четири или више многоуглова. Свака страница било ког од тих многоуглова (стране полиедра) је уједно и страница неког њему сусједног многоугла који са њим не лежи у истој равни (називамо их ивицама полиедра, док крајње тачке ивица називамо тјеменима полиедра). Ријеч полиедар је грчког поријекла (πολυς – много; εδρον – површ).

Конвексан полиедар је правилан ако су све његове стране правилни многоуглови са једнаким бројем страница и сви његови рогљеви имају једнак број ивичних углова. Угао правилног n-тоугла се рачуна по формули \alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ. Ако је m (m=3,4,5…) број ивица из једног тјемена правилног полиедра, мора да вриједи m\cdot\alpha<360^\circ тј. mn-2m<2n. За n\geq 3 је m<6 и За m\geq 3 је n<6. Одатле слиједи да постоји тачно пет правилних полиедара:

  1. {3,3} тетраедар (4 стране);
  2. {3,4} октаедар (8 страна);
  3. {3,5} икосаедар (20 страна);
  4. {4,3} хексаедар, коцка (6 страна);
  5. {5,3} додекаедар (12 страна).

На сљедећем видеу можете да видите правилне полиедре и објашњење зашто их нема више од пет:

Правилни полиедри се још називају и Платонова тијела, међу првима их је описао Платон у једном од својих дијалога (Тимаиос, 350. год. пне). Он је наведене облике повезао са „елементима“ зависно од њихове „покретљивости“; ватра је добила облик тетраедра, земља облик коцке, вода облик икосаедра, ваздух облик октаедра, док је додекаедар најсложенији па претставља читав универзум.

За Платонова тијела се знало много прије Платона. Материјални докази познавања неких од ових тијела потичу још из древног Египта. Конструкције тетраедра, коцке и додекаедра приписују се Питагорејцима, док се конструкција преосталих двају тијела приписује Теетету (414-369. год. пне; Тринаесту и последњу књигу Елемената, Еуклид је посветио правилним полиедрима, а приписује се Теетету; у њој се може наћи начин конструкције пет правилних полиедара).

Правилни полиедри су једни од ријетких геометријских тијела која се јављају у природи, што смо већ могли да видимо у BBC-јевом документарцу Код (Облици; други дио).

Правилни полиедри су неки од облика у којима се праве коцкице за игру.

Овдје можете да видите како Платонова тијела „изгледају“ у четвртој димензији (хипертетраедар; хипероктаедар; хиперикосаедар; хиперхексаедар, хиперкоцка; хипердодекаедар).

Подјела троугла најкраћом дужи на два дијела једнаких површина

Суочен сам с једним проблемом који је везан за геометрију. Како најкраћом дужи подијелити једнакокраки троугао на двије једнаке површине? И да ли рјешење овог проблема има везе са златним пресјеком?

(Обренова питања)

Посматрајмо произвољан троугао \Delta ABC и подијелимо га дужи d, са крајњим тачкама D и E на страницама a и b, на два дијела (CD=e; CE=f).

Ако желимо да подјела буде таква да су та два дијела једнаких површина, имамо да вриједи: P_{\Delta CDE}=\frac{1}{2}\cdot P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot P. Како је P_{\Delta CDE}=e\cdot f\cdot sin\gamma, Добијамо да вриједи e\cdot f=\frac{P}{2\cdot sin\gamma}=\frac{a\cdot b\cdot sin\gamma}{2\cdot sin\gamma}=\frac{a\cdot b}{2}.

Примјеном косинусне теореме добијамо: d^2=e^2+f^2-2\cdot e\cdot f\cdot cos\gamma=(e-f)^2+2ef(1-cos\gamma)=(e-f)^2+a\cdot b\cdot (1-cos\gamma)=(e-f)^2+const. Јасно, да је дуж d најкраћа када вриједи e-f=0 тј. e=f=\sqrt{\frac{a\cdot b}{2}}. Њена дужина тада износиd=\sqrt{a\cdot b\cdot (1-cos\gamma)}=\sqrt{a\cdot b\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\gamma})}. На сличан начин, мијењајући положај дужи d, можемо да добијемо сљедеће двије формуле: d=\sqrt{b\cdot c\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\alpha})} (крајеви дужи d су на страницама b и c;e=f=\sqrt{\frac{b\cdot c}{2}}) и d=\sqrt{a\cdot c\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\beta})} (крајеви дужи d су на страницама a и c;e=f=\sqrt{\frac{a\cdot c}{2}}). Закључујемо да је дуж d најкраћа када њени крајеви леже на страницама налеглим на краке угла којег је синус најмањи.

Посматрајмо сада једнакокраки троугао, нека вриједи a=b и \alpha=\beta. На основу синусне теореме вриједи формула: sin\gamma=\frac{a\cdot sin\alpha}{b}=\frac{a\cdot \frac{h_a}{b}}{b}=\frac{a}{b^2}\cdot\sqrt{\frac{4b^2-a^2}{4}}. Одатле добијамо да вриједи: sin^2\gamma=\frac{4a^2b^2-a^4}{4b^4}. Такође добијамо да вриједи формула sin^2\alpha=1-(\frac{a}{2b})^2. Разликоваћемо два случаја:

1. \gamma\leq\alpha тј. sin\gamma\leq sin\alpha

Вриједи формула за дужину најкраће дужи која дијели дати једнакокраки троугао на два дијела једнаких површина d=\sqrt{b^2 (1-\sqrt{1-sin^2\gamma})}=\sqrt{b^2 (\frac{a^2}{2b^2})}=\frac{a\cdot\sqrt{2}}{2} и формула за дужине дужиe=f=\frac{b\cdot\sqrt{2}}{2};

2. \alpha<\gamma тј. sin\alpha<sin\gamma (вриједи и за тупоугле једнакокраке троуглове)

Вриједи формула за дужину најкраће дужи која дијели дати једнакокраки троугао на два дијела једнаких површина d=\sqrt{a\cdot b\cdot (1-\sqrt{1-sin^2\alpha})}=\sqrt{ab\cdot\frac{2b-a}{2b}}=\sqrt{a\cdot(2b-a)}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} и формула за дужине дужи e=f=\frac{\sqrt{a\cdot b}\cdot\sqrt{2}}{2}.

Рјешење овог проблема нема везе са златним пресјеком.

Формуле за рјешења линеарних и квадратних једначина

Захваљујући француском математичару Декарту (Rene Descartes,1596-1650) и његовом методу координата, који је изложио у књизи „Геометрија“ (La geometrie; 1637), општи облик линеарне једначине са једном непознатом гласи: ax+b=0, гдје је x непозната, a,b\in R и a\not =0. Дотад су једначине записиване само са позитивним коефицијентима; дијелови једначина са негативним коефицијентима су „преношени“ на другу страну једнакости. Њено рјешење је x=-\frac{b}{a}.

Општи облик квадратне једначине са једном непознатом гласи: ax^2+bx+c=0, гдје је x непозната, a,b,c\in R и a\not =0. Тек када је Кардано у своме дјелу „Велика вјештина“, увео у употребу негативне и комплексне бројеве, било је могуће ријешити општу квадратну једначину.

Помножимо дату квадратну једначину са 4a (4a\not =0), добијамо њој еквивалентну једначину 4a^2x^2+4abx+4ac=0. Додајмо објема странама једнакости израз b^2-4ac. Добијамо једначину 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac, коју можемо написати у облику (2ax+b)^2=b^2-4ac. Посљедња једнакост, еквивалентна је са 2ax+b=\sqrt{b^2-4ac} или 2ax+b=-\sqrt{b^2-4ac}. Из те двије једначине (уз услов 2a\not =0) добијамо да вриједи x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} или x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. На тај начин долазимо до формуле за рјешења опште квадратне једначине x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Како су негативни коефицијенти досљедно избјегавани, ал Хорезми је класификовао 6 типова квадратних једначина, умјесто данашњег једног јединог – општег облика.

Размотримо метод рјешавања једне од типских квадратних једначина. Посматрајмо једначину x^2+10x=39. Ал Хорезми конструише тражени квадрат x^2, над њим четири правоугаоника висине \frac{10}{4}, тако да у угловима великог квадрата добије четири квадрата страница једнаких висинама правоугаоника тј. \frac{10}{4}. Одатле слиједи да је површина великог квадрата (x^2+4\cdot\frac{10}{4}\cdot x)+4\cdot(\frac{10}{4})^2=64, а страница x+2\cdot \frac{10}{4}=8. Рјешавајући посљедњу једначину, добија рјешење x=3 посматране квадратне једначине.

Ератостен и бунар

Ератостен из Кирене (276-194. пне), управник Александријске библиотеке, постао је познат као први човјек у историји који је измјерио обим Земље (240. пне). Ератостен је дошао до свог открића примјењујући геометрију. Уочио је да у подне, за вријеме љетне дугодневице 21. јуна (љетни солистициј) у граду Сијени, предмети не бацају сјену. Видио је свој одраз у једном дубоком бунару до чијег дна сунчеви зраци иначе не допиру. За Ератостена је то значило да штап пободен под правим углом у земљу стоји упоредо са сунчевим зрацима. Он је знао да у Александрији сунце увијек прави сјену и да је Сијена знатно јужније од Александрије.

Такође је знао за тврдње неких грчких филозофа да је Земља округла што му је сљедећи мисаони експеримент и потврдио. Замислио је полуправу, која полази из средишта Земље и пролази кроз тачку која представља град Сијену, паралелну са дужима које представљају сунчеве зраке; и полуправу која полази из средишта Земље до тачке која представља град Александрију а није паралелна сунчевим зрацима. Она се пресјеца са њима под одређеним углом, па се због тога јавља сјена. Ератостен је мјерењем утврдио да је тај угао на љетни солистициј приближно износио 7,2º што је педесети дио од 360º тј. пуног угла. На основу тога је закључио да је Земљин обим педесет пута већи од раздаљине између Сијене и Александрије. Од путника је сазнао да је камилама потребно 50 дана да пређу пут између ова два града и колико једна камила прелази дневно. Рачуном је добио растојање између Сијене и Александрије, оно је износило 5000 стадија. Помноживши 5000 стадија са 50, Ератостен је добио да обим Земље износи 250000 стадија.

Сматра се да 1 грчки стадиј износи oko 185 метара а египатски око 157.5 метара. Зависно од тога коју јединицу мјере је користио, израчунавамо да је као вриједност обима Земље добио 46250 km или 39375 km (средњи обим земље по данашњим сазнањима износи 40,030.2 km).

Еуклид је добио да је растојање између Сијене (града Асуана у садашњем Египту) и Александрије 5000 стадија, тј. 925 km по грчком систему мјера или 787.5 km по египатском. Можемо да видимо на http://www.wolframalpha.com/ (унесите у поље за претрагу „aswan alexandria„) да је растојање између ова два града 844 km. Разлика у  апсолутним грешкама је 24,5 km (у првом случају је апсолутна грешка 81 km а у другом 56,5 km), тако да је вјероватније да је кориштен египатски систем мјера (прецијенили су камиле). У том случају Ератостен је направио грешку од 1,64%.

Талес и Велика пирамида

Према већини извјештаја геометрија је прво откривена у Египту. Херодотус каже да је Сесотрис (Рамзес II, отприлике 1300. пне) подијелио Египћанима земљу на једнаке правоугаоне дијелове, да плаћају годишњу таксу; па када би ријека преплавила дио земље, и када би се власник пријавио за одређену редукцију таксе, послали би земљомере да потврде да је било смањења у површини. “Ово је по мом мишљењу“, наставља он, “поријекло геометрије, која је касније прешла у Грчку.“

Талес из Милета (624-547. пне) је први отишао у Египат и увео геометрију у Грчку. Талес је био на листи седам мудраца и уопште први којем је додјељен назив мудрац. Према Проклу, Еудем је приписивао Талесу познавање једне теореме помоћу које би ако је потребно могао да израчуна висину неке куле или пирамиде; или раздаљину неког брода од обале а да не вуче неки конопац до брода. Данас двије теореме носе Талесово име.

Пирамиде у Гизи или Велике пирамиде су једно од седам свјетских чуда (највећа од њих је Кеопсова или Велика пирамида, гробница фараона Кеопса; изграђена је око 2560. пне по налогу фараона Кеопса, Снефруова сина и насљедника). Налазе се у Египту, близу Каира на платоу Гизе. Оне су најстарије и једино до данас очувано свјетско чудо. Велике пирамиде чине три монументалне грађевине које се разликују од осталих египатских пирамида расутих по пустињи Сахаре.

Има више различитих објашњења Талесовог метода за мјерење висине пирамиде. Најстарија и најједноставнија верзија долази од Херонимуса, Аристотеловог ученика, коју наводи Диоген Леарције: “Херонимус каже да је он чак успио да измјери висину пирамиде посматрањем дужине њене сјенке у моменту када су наше сјенке једнаке нашој висини.“ Плутарх је уљепшао причу дијалогом где Нилохенус говори Талесу: “Поред других подвига твојих, он (Амасис) је посебно задовољан твојим мјерењем пирамиде, јер си без проблема и без помоћи било ког инструмента, само поставио штап на границу сjенке коју је бацала пирамида и тако направио два троугла, и под утицајем сунчевих зрака ти си показао да пирамида према штапу има исти однос који сjенка има према сjенци.“

Теорема невјесте

Код правоуглих троуглова је квадрат на страни спрам правог угла (на хипотенузи) једнак квадратима на странама које образују прав угао (на катетама).

 

Ако је код троугла квадрат на једној страни једнак квадратима на осталим двјема странама, онда је угао који образују ове двије стране прав.

 

47. и 48. став прве књиге Еуклидових (330-275. пне) Елемената

 

Питагорина теорема је ученицима најпознатија теорема: „Квадрат над хипотенузом правоуглог троугла једнак је збиру квадрата над његовим катетама.“ 

Иако се приписује Питагори, била је позната Египћанима, Вавилонцима, Кинезима и Индијцима. Ако се нпр. приликом градње храма или пирамида требао конструисати прави угао, онда је то рађено помоћу „египатског троугла“ – троугла чије су странице 3, 4 и 5. Такође, стари народи су знали конструисати правоугли троугао са страницама дужина 6, 8 и 10; 9, 12 и 15; 12, 16 и 20, односно 15, 36 и 39. На овај начин је уведена веза између фигуре и броја, тј. између геометрије и алгебре.

Сматра се да први доказ Питагорине теореме потиче од Питагоре. Према легенди, он је у знак захвалности што је доказао теорему, боговима жртвовао стотину волова. Иначе,  до данас је познато око 400 различитих доказа Питагорине теореме. Навешћемо овдје неке од њих.

Питагорин доказ

На сликама видимо два квадрата истих површина, оба имају странице једнаке збиру дужина катета жутих правоуглих троуглова {a+b}. Жути троуглови у оба квадрата заузимају исте површине {2ab}. Посматрајмо преостале површине, без уочених троуглова. У првом квадрату нам остаје – квадрат над хипотенузом површине {c^2}; у другом – квадрати над катетама површине {a^2+b^2}. Преостале површине у оба квадрата су исте тако да добијамо тврђење Питагорине теореме {c^2=a^2+b^2}.

До Питагорине теореме можемо доћи помоћу исте слике користећи формулу за квадрат бинома. Површина првог квадрата износи {(a+b)^2=a^2+4\cdot\frac{ab}{2}+b^2} а другог {(a+b)^2=c^2+4\cdot\frac{ab}{2}}, што се види са слике. Из претходне две једнакости слиједи тврђење Питагорине теореме {c^2=a^2+b^2}.

Бхаскарови докази

Изразимо површину квадрата странице c преко жутог квадрата и четири љубичаста правоугла троугла: {c^2=(b-a)^2+4\cdot\frac{ab}{2}}. Сређивањем десне стране једнакости добијамо {c^2=a^2+b^2}. Овим је први доказ завршен, добили смо тврђење Питагорине теореме.

Бхаскара (Bhāskara II) је извео и други доказ примјеном особина сличности троуглова.

Троуглови {\triangle ABC} и {\triangle CBE} су слични, јер су им одговарајући углови једнаки: {\angle ACB=\angle BEC=90^{\circ}}; {\angle ABC=\angle EBC}; {\angle BAC=\angle BCE} (оштри углови са нормалним крацима). Из њихове сличности слиједи једнакост {\frac{s}{a}=\frac{a}{c}} тј. {sc=a^2}.

Аналогно показујемо сличност троуглова {\triangle ABC} и {\triangle ACE}. Из њихове сличности слиједи једнакост {\frac{r}{b}=\frac{b}{c}} тј. {rc=b^2}.

Из претходних једнакости слиједи {c^2=c\cdot c=(r+s)\cdot c=rc+sc=b^2+a^2} тј. тврђење Питагорине теореме.

Еуклидов доказ

Еуклид прву књигу елемената завршава доказом Питагорине теореме (видјети „Литература и извори“ под 34).

Арапски математичари су Питагорину теорему називали „теорема невјесте“. Цртеж са доње слике личи на пчелу или крилатог мрава, а на старогрчком језику „млада пчела“ („крилати мрав“) означава „нимфу“, што је код древних Грка био назив за младу жену, невјесту. У средњем вијеку су Питагорину теорему називали још и „теоремом магараца“, јер су за ученике који су је знали напамет а нису умјели да је докажу говорили да су „магарци“.

{FC\| AE\| BD}. Разликоваћемо случајеве а) и б) редом као на горњој слици. Скицираћу доказ, детаље остављам читаоцима да докажу.

Троуглови {\triangle AEC} и {\triangle ABI} су подударни по ставу СУС (Страница – Угао – Страница). Троугао {\triangle AEC} и правоугаоник {\Box AEFG} имају заједничку основу {AE} и висину {AG}. Њихове површине износе {P_{\triangle AEC}=\frac{1}{2} AE\cdot AG} и {P_{\Box AEFG}=AE\cdot AG}. Одатле слиједи {P_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}\cdot P_{\Box AEFG}} тј. површина правоугаоника {\Box AEFG} је два пута већа од површине троугла {\triangle AEC}. Аналогно показујемо да је површина квадрата {\Box AIHC} два пута већа од површине троугла {\triangle AIB} тј. троугла {\triangle AEC}. Одатле слиједи да је површина правоугаоника {\Box AEFG} једнака површини квадрата {\Box AIHC}.

На потпуно исти начин као под а) проводимо доказ и за случај б). Добијамо да је површина правоугаоника {\Box BDFC} једнака површини квадрата {\Box BJKC}. Како је квадрат {\Box ABDE} једнак збиру правоугаоника {\Box AEFG} и {\Box BDFC} тј. збиру квадрата {\Box AIHC} и {\Box BJKC}, слиједи тврђење Питагорине теореме.