Eduaro Sanc de Kabeson: Математика је вјечна

Eduardo Sáenz de Cabezón: Math is forever

Погледајте овај видео са сајта ted.com, у којем нам, уз очаравајући хумор, математичар Eduaro Sanc de Kabeson даје одговор на питање које излуђује ученике широм света: чему служи математика? Показује нам љепоту математике која представља саму основу науке. Теореме, а не дијамати, су вјечни. Доступан вам је српски пријевод.

Advertisements

Општи метод за сумирање дивергентних редова. Одређивање граничних вриједности дивергентних низова и функција у сингуларним тачкама

Резиме. У раду ћу да се осврнем на историјски развој теорије дивергентних редова, и да наведем низ разних примјера, као и неке од метода за њихово сумирање. Након тога ћу да представим општи метод, који сам открио, за сумирање дивергентних редова, који можемо сматрати и методом за рачунање граничних вриједности дивергентних низова и функција у сингуларним тачкама, у овом случају, граничних вриједности низова њихових парцијалних сума. Кроз вјежбе ћу примјенити метод на наведене примјере и показати његову тачност. Затим ћу да примјеним метод на рачунање вриједности неких дивергентних интеграла.

Abstract. In this work I am going to mention historical development of divergent series theory, and to give a number of different examples, as some of the methods for their summing. After that, I am going to introduce the general method, which I discovered, for summing divergent series, which we can also consider as a method for computing limits of divergent sequences and functions in divergent points, In this case, limits of sequences of their partials sums. Through the exercises, I am going to apply this method on given examples and prove its validity. Then I’m going to apply the method to compute the value of some divergent integrals.

http://vixra.org/abs/1502.0074 [1] [2]

Настанак комплексних бројева

Посматрајмо квадратну једначину {x^2=ax+b}. Ми знамо да се њена рјешења добијају помоћу формуле {x_{1,2}=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}+b}}. Њена рјешења такође можемо графички да одредимо као апсцисе пресјечних тачака графика функција {y=x^2} и {y=ax+b} у правоуглом координатном систему. Ако се графици поменутих функција не сијеку, тада једначина нема рјешења. Једна од таквих једначина је и {x^2=-1}.

Иако се често тврди да је рјешавање те једначине довело до увођења имагинарне јединице {i=\sqrt{-1}} и настанка комплексних бројева, историјски гледано, то није тачно. Пошто се графици одговарајуће линеарне и квадратне функције не сијеку, за њена нереална рјешења једноставно није било интереса.

До комплексних бројева се дошло рјешавањем кубне једначине облика {x^3=px+q}, која увијек има бар једно реално рјешење, јер се графици функција {y=x^3} и {y=px+q} увијек сијеку. Ми знамо да се једначина наведеног облика рјешава по формули:

\displaystyle x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}+\frac{q}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}-\frac{q}{2}}

.

Примјер 1. Ријешимо кубну једначину {x^3=-6x+20}.

Видимо да је {p=-6} и {q=20}. Користећи формулу добијамо рјешење:

{x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{400}{4}-\frac{-216}{27}}+\frac{20}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{400}{4}-\frac{-216}{27}}-\frac{20}{2}}} {x=\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}=2}.

30 година након открића ове формуле, Бомбели (Bombelli, 1526-1572) ју је користио за рјешавање кубне једначине тог типа.

Примјер 2. (Бомбели) Рјешавао је кубну једначину {x^3=15x+4}.

Јасно да је {p=15} и {q=4}. Користећи формулу добио је рјешење:

{x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{3375}{27}}+\frac{4}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{3375}{27}}-\frac{4}{2}}} {x=\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}} {x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}}.

То не би било ништа чудно да се графици функција {y=x^3} и {y=15x+4} не сијеку.

Чињеница да реално рјешење постоји, довела је Бомбелија до открића да вриједе једнакости {\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}} и {\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-\sqrt{-1}}, односно до настанка комплексних бројева. Тачност наведених једнакости се лако провјерава њиховим кубирањем, водећи рачуна да је {\sqrt{-1}^2=-1}, шта год било то {\sqrt{-1}}. Уврштавањем је добио тражено рјешење {x=4}.

Ми данас о комплексним бројевима много тога знамо, између осталог да имају реалан и имагинаран дио, што можете да видите у сљедећем забавном видеу једног наставника математике. Након што га погледате, можда и ви пожелите да будете наставници.

Без подизања оловке

Често ми ученици као изазов постављају разне задатке из рекреативне математике. Одабрао сам два која ћу овдје да поставим и ријешим. Примјетио сам да се они понављају из године у годину, посебно овај први.

ЗАДАТАК 1.

Може ли се у једном потезу без подизања оловке са папира нацртати отворена коверта са доње слике?

Otvorena кoverta

ЗАДАТАК 2.

Може ли се у једном потезу без подизања оловке са папира нацртати таква затворена крива линија, која сваку дуж на доњој слици пресијеца тачно једанпут?

Slika

Рјешавање једног сличног проблема од стране швајцарског математичара Леонарда Ојлера (Leonhard Paul Euler, 1707-1783) 1736. године, довело је до оснивања теорије графова. Њему су током боравка у Кенигсбергу (у тадашњој Пруској, данашњем Калињинграду у Русији) мјештани поставили сљедећи проблем, тзв. проблем кенигсбершких мостова: „Преко ријеке Прегел која протиче кроз Кенигсберг и коју два острва дијеле на два рукавца, постоји седам мостова који повезују острва и обале ријеке (као што је приказано на доњој слици). Да ли је могуће пријећи све мостове не прелазећи ни преко једног два или више пута?“

7 mostova Kenigsberga

Ојлер је одговорио да то није могуће. Погледајмо сада како је Ојлер дошао до рјешења проблема.

Дијелове копна (лијеву и десну обалу, као и свако острво) можемо означити тачкама, а мостове линијама које повезују те тачке (као што је приказано на горњој слици). Тако добијамо граф са тјеменима и ивицама, тјеменима називамо тачке а ивицама поменуте линије. Ако из неког тјемена графа полази (не)паран број ивица, онда то тјеме можемо назвати (не)парним. Постављени проблем можемо сада овако преформулисати: „Да ли се добијени граф може нацртати у једном потезу без подизања оловке са папира?“ Ако је то могуће, онда приликом цртања графа полазимо из једног његовог тјемена, а затим, прије уласка у произвољно тјеме цртамо једну линију а након изласка другу, да би на крају завршили цртање у неком тјемену. Јасно је да ако цртање почињемо и завршавамо у истом тјемену, сва тјемена графа морају бити парна, а ако то није случај, онда су сва тјемена графа осим почетног и крајњег парна, док су та два непарна. На слици горе видимо да су три тјемена непарна а једно парно. На основу тога и претходног разматрања, закључујемо да је задани начин преласка мостова Кенигсберга немогућ.

Посматрајмо сада слику из првог задатка као граф. Видимо да има два непарна и три парна тјемена, тако да је могуће нацртати отворену коверту са слике, при чему цртање почињемо у једном непарном тјемену а завршавамо у другом. Провјерите!

Што се тиче рјешења другог задатка, нацртајмо граф као што је то приказано на сљедећој слици.

CGraf

Видимо да сваку дуж са слике пресијеца тачно једна ивица графа, при чему не постоје двије које су пресјечене истом. Сада можемо преформулисати овај задатак на исти начин као и проблем кенигсбершких мостова: „Да ли се граф са слике може нацртати у једном потезу без подизања оловке са папира?“ Пошто имамо 4 непарна и 2 парна тјемена, одговор на постављено питање је одречан.

Граф који се може нацртати без подизања оловке са папира назива се Ојлеров граф а одговарајући пут Ојлеров пут.

ЗАДАТАК 3.

Може ли мрав прошетати ивицама коцке, тако да сваком ивицом прође тачно једанпут? А ивицама тетраедра; октаедра?

Бифонова игла, резанац и број пи

Број пи је један од најстаријих бројева познатих човјечанству. Број пи представља однос обима круга и његовог пречника. Број пи је ирационалан и трансцедентан. Познат је људима већ више од 4000 година, што знамо из разних старих списа. Велшки математичар Willijam Jones (1675-1749) је први увео ознаку \pi  за број пи, коју и данас користимо. Посебно је интересантан један од начина добијања приближних вриједности броја \pi , који ћу овдје да изложим.

G. L. Buffon (1707-1788) је био француски ботаничар и љубитељ математике, који је поставио чувени проблем који по њему и носи име – Бифонов проблем. На равној површини имамо нацртане међусобно паралелне праве линије, такве да су сваке две сусједне на једнаком растојању d (можемо узети и шаховску таблу за примјер, гдје хоризонталне или вертикалне границе шаховских поља представљају паралелне линије). Игла дужине l<d се баца на ту равну површину. Бифонов проблем се састоји од одређивања вјероватноће догађаја, да бачена игла сијече неку од правих паралелних линија.

Бифонов проблем игле

На горњој слици видимо да је игла представљена као дуж AB дужине l (l<d ). Такође видимо да једну од паралелних правих пресјеца и гради са њом угао \alpha . Тачка C је средиште дужи AB, а x је њено растојање од њој најближе праве.

Угао \alpha узима вриједности од 0 до \pi , а растојање x од 0 до \frac{d}{2} . Игла сијече праву када x узима вриједности од 0 до \frac{l}{2}sin\alpha . Ова два скупа вриједности углова и растојања могу се представити графички као два скупа уређених парова (\alpha, x) (тачака у равни), као што је приказано на сљедећој слици.

Јасно да је тражена вјероватноћа однос њима одговарајућих површина, тј. површине ограничене апсцисом и графиком функције x=\frac{l}{2}sin\alpha и површине правоугаоника чије су странице дужина \pi и \frac{d}{2} {P=\frac{\int_0^\pi \frac{l}{2} sin\alpha d\alpha}{\pi\cdot\frac{d}{2}}=\frac{2l}{\pi d}} .

Ако бацамо иглу n пута а број пресјецања означимо са m, добијамо  формулу за приближно одређивање броја \pi: {\pi=\frac{2ln}{md}} . Италијански математичар Марио Лазарони је у 3408 бацања избројао 1808 случајева пресјецања игле са неком од правих. Његова игла је била l=2.5 cm дуга а размак међу паралелним линијама је износио d=3 cm. На тај начин је добио апроксимацију броја \pi са 6 тачних децимала: {\frac{1808}{3408}=\frac{2\cdot 2.5}{\pi\cdot 3}} тј. {\pi=\frac{355}{113}} Tsu Chung Chi (430-501), кинески математичар и астроном дао је двије апроксимације броја \pi: \frac{355}{113} и \frac{22}{7} . За тадашње вријеме то је био изванредан резултат. Први разломак је управо онај до кога је дошао Лазарони у своме експерименту са иглом. Овдје можете погледати симулацију експеримента са Бифоновом иглом: http://www.metablake.com/pi.swf .

До рјешења Бифоновог проблема можемо доћи на још један начин, рјешавајући други тежи проблем, у коме су математичка израчунавања сведена на минимум а до изражаја долази примјена теорије вјероватноће.

Посматрајмо случајни експеримент, у коме умјесто игле, на равну површину бацамо резанац одређеног утврђеног облика дужине l . Нека је X  случајна промјењива – број пресјецања баченог резанца дужине l  са паралелним линијама. Одредимо E(X)  – математичко очекивање случајне промјењиве X. На слици доле, видимо бачени резанац који пресјеца паралелне линије 5 пута.

Бифонов резанац

Резанац увијек можемо апроксимирати тако, да га подијелимо одговарајућим тачкама на n довољно малих дијелова, затим их замијенимо дужима које спајају њихове крајње тачке. Број пресјека добијеног облика са паралелним правама остаје исти. Нека је X_i  случајна промјењива – број пресјецања i-тог дијела резанца (дужи) дужине l_i  са паралелним линијама. За математичко очекивање вриједи формула: E(X_1+X_2+...+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n) . Јасно је да математичко очекивање случајних промјењивих зависи искључиво од дужина добијених дијелова: E(X_i)=f(l_i),\ i=1,2,...,n , гдје је f функција коју треба да одредимо. Спајањем два дијела тако да чине једну дуж, добијамо да вриједи: E(X_1+X_2)=f(l_1+l_2) тј. f(l_1+l_2)=f(l_1)+(l_2) . Функција f је линеарна на скупу рационалних бројева Q, што се лако провјерава. Пошто је монотоно растућа, она је линеарна и на скупу R, тако да вриједи: f(l_i)=c\cdot l_i,\ i=1,2,...,n . Пошто је X апроксимирано са X_1+X_2+...+X_n , преласком на граничну вриједност добијамо сљедећу формулу: E(X)=c\cdot l=f(l) ;  c је константа коју треба да одредимо. Треба да одредимо облик резанца за који тачно знамо колико пута сијече паралелне линије. Тражени облик је на сљедећој слици.

кружница

Видимо да је бачени резанац у облику кружнице пречника d, дужине l=d\cdot\pi ; како год да падне на равну површину, паралелне линије сијече 2 пута тј. E(X)=2 . Имамо да вриједи: {2=f(l)=c\cdot l=c\cdot\pi\cdot d}  тј. c=\frac{2}{\pi d} . Коначно добијамо: {E(X)=f(l)=\frac{2l}{\pi d}} .

Претпоставимо сада да је резанац облика игле, дужине l (l<d ). Вриједи једнакост: E(X)=0\cdot p_0+1\cdot p_1=P=\frac{2l}{\pi d} . Добили смо рјешење Бифоновог проблема.

Платонова тијела

,,Почећемо од првог облика, чији је састав најједноставнији и најмањи. Његов елемент је троугао чија је хипотенуза двоструко дужа од краће странице. Ако се два троугла споје својим хипотенузама, и ако се све то три пута понови, тако да се и дијагонале краће странице ослањају на исту, као на центар, добија се један једнакостранични троугао, који постаје од ових шест. А таква четири јенакостранична троугла састаће се тако да по три њихова пвршинска угла чине један чврсти угао, чија величина непосредно превазилази величину највећег тупог површинског угла. Пошто су довршена четири таква рогља, састављен је први чврсти облик, који може дијелити на једнаке и сличне делове сваку сферу.” [ 54e] [6] 

,,Други је облик од истих троуглова: осам једнакостраничних троуглова је састављено тако да по четири равна угла образују један чврсти. Када настане шест таквих углова, довршено је тијело другог облика.” [55a] [6] 

,,Трећи облик је спојен од сто двадесет основних троуглова и дванаест чврстих углова, од којих је сваки обухваћен од пет једнакостраничних равних углова, док он има двадесет једнакостраничних троуглова за основе.” [55b] [6]

,,И пошто су рођена ова тијела, један од елемената је завршио своје, док је равнокраки троугао родио природу четвртог. Он је састављен тако што су по четири таква троугла, са својим правим угловима, спојена у центру, образујући тако једнакостранични четвороугао. Шест квадрата спојено је тако да образују осам чврстих углова, сваки ограничен са по три равна угла.Облик тако састављеног тела је коцка, која има шест четвороуглих равностраних основа.” [ 55c] [6]

,,Постоји још један, пети састав: Бог га је употребио за свемир, осликавајући на њему ликове.” [55c] [6]

Платон (Тимаиос; 350. год. пне)

 Полиедар је геометријско тијело ограничено са четири или више многоуглова. Свака страница било ког од тих многоуглова (стране полиедра) је уједно и страница неког њему сусједног многоугла који са њим не лежи у истој равни (називамо их ивицама полиедра, док крајње тачке ивица називамо тјеменима полиедра). Ријеч полиедар је грчког поријекла (πολυς – много; εδρον – површ).

Конвексан полиедар је правилан ако су све његове стране правилни многоуглови са једнаким бројем страница и сви његови рогљеви имају једнак број ивичних углова. Угао правилног n-тоугла се рачуна по формули \alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ. Ако је m (m=3,4,5…) број ивица из једног тјемена правилног полиедра, мора да вриједи m\cdot\alpha<360^\circ тј. mn-2m<2n. За n\geq 3 је m<6 и За m\geq 3 је n<6. Одатле слиједи да постоји тачно пет правилних полиедара:

  1. {3,3} тетраедар (4 стране);
  2. {3,4} октаедар (8 страна);
  3. {3,5} икосаедар (20 страна);
  4. {4,3} хексаедар, коцка (6 страна);
  5. {5,3} додекаедар (12 страна).

На сљедећем видеу можете да видите правилне полиедре и објашњење зашто их нема више од пет:

Правилни полиедри се још називају и Платонова тијела, међу првима их је описао Платон у једном од својих дијалога (Тимаиос, 350. год. пне). Он је наведене облике повезао са „елементима“ зависно од њихове „покретљивости“; ватра је добила облик тетраедра, земља облик коцке, вода облик икосаедра, ваздух облик октаедра, док је додекаедар најсложенији па претставља читав универзум.

За Платонова тијела се знало много прије Платона. Материјални докази познавања неких од ових тијела потичу још из древног Египта. Конструкције тетраедра, коцке и додекаедра приписују се Питагорејцима, док се конструкција преосталих двају тијела приписује Теетету (414-369. год. пне; Тринаесту и последњу књигу Елемената, Еуклид је посветио правилним полиедрима, а приписује се Теетету; у њој се може наћи начин конструкције пет правилних полиедара).

Правилни полиедри су једни од ријетких геометријских тијела која се јављају у природи, што смо већ могли да видимо у BBC-јевом документарцу Код (Облици; други дио).

Правилни полиедри су неки од облика у којима се праве коцкице за игру.

Овдје можете да видите како Платонова тијела „изгледају“ у четвртој димензији (хипертетраедар; хипероктаедар; хиперикосаедар; хиперхексаедар, хиперкоцка; хипердодекаедар).

Terry Moore: Зашто је „X“ непознато?

Terry Moore: Why is ‘x’ the unknown?

Погледајте овај видео, са сајта ted.com, у коме Terry Moore објашњава зашто је „X“ симбол који се најчешће користи за непознато. Доступан вам је и хрватски пријевод овог кратког али занимљивог предавања.